2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第十二章第4讲　轨迹与方程.pptVIP

* 第 4 讲 轨迹与方程 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 f(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根 据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线， 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (4)代入转移法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变 化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的 代数式表示 x0、y0，再将 x0、y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程． (5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． D D 3．已知△ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD| ＝3，则顶点 A 的轨迹方程为_______________________. 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称， 顶点在原点 O，且过点 P(2,4)，则该抛物线的方程是_________. 5．动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2，则点 P 的轨迹所 围成的图形面积是___. (x－10)2＋y2＝36(y≠0) y2＝8x 8 考点 1 直接法求轨迹方程 例 1：如图 12－4－2，已知⊙O 的半径为 3，直线 l 与⊙O 相切，一动圆与 l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径， 求动圆圆心的轨迹方程． 图 12－4－2 解题思路：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、 直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件 是关注的焦点． 解析：取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴，过 O 点且垂直 于 l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系． 设动圆圆心为 M(x，y)，⊙O 与⊙M 的公共弦为 AB，⊙M 与 l 切于点 C，则|MA|＝|MC|. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分 AB 于 O. 由勾股定理得|MA|2＝|MO|2＋|AO|2＝x2＋y2＋9， 而|MC|＝|y＋3|， 化简得 x2＝6y，这就是动圆圆心的轨迹方程． 求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”， 建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一 般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的 等量关系． 【互动探究】 1．如图 12－4－3，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程． 图 12－4－3 考点 2 定义法求轨迹方程 解题思路：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹 形状后，再根据已知求解． 解析：两定圆的圆心和半径分别为 O1(－3,0)，r1＝1； O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R， 则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10. 由椭圆的定义知：M 在以 O1、O2为焦点的椭圆上， 且 a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本 轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 【互动探究】 2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动 圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 图 12－4－4 解：如图 12－4－4，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， 考点 3 代入法求轨迹方程 【互动探究】 3．设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹． 错源：利用参数法求轨迹方程时忽略了特殊情况 例 4：如图 12－4－5，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的 直线 CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程． 图 12－4－5 *