高考数学专题练习第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差.docVIP

本资料来源于《七彩教育网》 课题：随机变量的分布列、期望和方差 教学目的： 1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。 2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。 教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力． 教学过程： 1．通览基础知识 项目 内容 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列的性质 二项分布 离散型随机变量的期望及其计算公式 离散型随机变量的方差及其计算公式 2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质 在分析和研究上述例子的基础上，概括出： 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2, …，xi,…, ξ取每一个值xi (I=1，2，…)的概率为P(ξ= xi)=Pi，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列的两个简单性质： (1) Pi≥0，I=1，2，…； (2) P1 +P2 +…=1． 3．讲参考例题 例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。 解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n。 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为 ξ 1 -1 0 P 例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。设分裂n次终止的概率是。记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。求P(ξ≤10)。 解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为 ξ 2 3 8 16 … … P … … 所以 P(ξ≤10)= P(ξ=2)+ P(ξ=4) +P(ξ=8) =++= 例3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。 解：依题意，随机变量ξ~B（2，5%）。所以， 因此，次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 例4．重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ3)。 解：依题意，随机变量ξ~B（5，） 例5涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件． 例5 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（ξ=0）= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（ξ=1）= 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P（ξ=2）= 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P（ξ=3）= 所以，Eξ= 例6涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算。 例7 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ。 解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B（200，1%）。因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以， Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98 例8是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(