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2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷(A卷)(考试时间:10月17日上午9∶40—12∶10)一、(本题满分40分)如图,锐角三角形的外心为,是边上一点(不是边的中点),是线段延长线上一点,直线与交于点,直线与交于点.求证:若,则,,,四点共圆.二、(本题满分40分)设是给定的正整数,.记,,.证明:存在正整数,使得为一个整数.这里表示不小于实数的最小整数,例如:,.三、(本题满分50分)给定整数,设正实数,,…,满足,,,…,,记,,,…,.求证:.四、(本题满分50分)一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?

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