2015年《高考风向标》高考理科数学一轮复习第十三章第6讲空间坐标系与空间向量.pptVIP

* 第6讲 空间坐标系与空间向量 1．空间向量的概念 在空间，既有大小又有方向的量，叫做 ，记作 a 空间向量 A 图 13－6－1 C 考点 1 向量的线性运算 图 13－6－4 ê é ? ú ( ù ＝ 2 3 OA → ＋ 3 4 ? 1 2 OB → ＋ OC → ) － 2 3 OA → ＝ 2 3 a ＋ 3 8 (b ＋ c) － 1 2 a ＝ 1 6 a ＋ 3 8 b ＋ 3 8 c. MG 解题思路： 利用三角形法则转化． 解析： OG → ＝ OM → ＋ → ＝ 2 3 OA → ＋ 3 4 MN → ＝ 2 3 OA → ＋ 3 4 ( ON → － OM → ) (1) 本题结合图形特点运用向量的三角形法则或 平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量． (2) 向量的线性运算有一个常用的结论：如果点 B 是线段 AC 的中点，那么 1 2 OB → ＝ ( OA → ＋ OC → ) ．此结论常用于与中点相关的运 算． 解： (1) ∵ P 是 C 1 D 1 的中点， ∴ AP → ＝ AA 1 → ＋ A 1 D 1 → ＋ D 1 P → ＝ a ＋ AD → ＋ 1 2 D 1 C 1 → ＝ a ＋ c ＋ 1 2 AB → 1 ＝ a ＋ c ＋ 2 b. (2) ∵ N 是 BC 的中点， ∴ A 1 N → ＝ A 1 A → ＋ AB → ＋ BN → ＝ － a ＋ b ＋ 1 2 BC → 1 ＝－ a ＋ b ＋ 2 AD → 1 ＝－ a ＋ b ＋ 2 c. 考点 2 向量的坐标运算 解题思路：在平面 AMN 内找两个相交向量分别与法向量垂 直． 解析：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线为坐标轴建 立空间直角坐标系．如图 13－6－6. 图 13－6－6 例 2：已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为 BB1、 C1D1 的中点，建立适当的坐标系，求平面 AMN 的法向量． 【互动探究】 2．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 值是( ) D A．1 B. 1 5 C. 3 5 D. 7 5 例 3：如图 13－6－7，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且 AB＝AA1，D、E、F分别为 B1A、C1C、BC 的中点． 求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF. 图 13－6－7 错源：忽略用向量证明平行与垂直问题 误解分析：未引入空间向量，用向量代数形式来处理立体 几何问题，引入空间向量可降低思维难度，使解题变得程序化， 但学生时常用传统方法把问题复杂化导致解题困难． 正解：如图 13－6－8 建立空间直角坐标系 A－xyz，令 AB ＝AA1＝4， 图 13－6－8 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)， F (2,2,0) ， B (4,0,0) ， B 1 (4,0,4) ． (1) 取 AB 中点为 N ，则 N (2,0,0) ， C (0,4,0) ， D (2,0,2) ， ∴ DE → ＝ ( － 2,4,0) ， NC → ＝ ( － 2,4,0) ． ∴ DE → ＝ NC → ， ∴ DE ∥ NC ， 又 NC ? 平面 ABC ， DE ? 平面 ABC ， 故 DE ∥ 平面 ABC . (2) B 1 F → ＝ ( － 2,2 ，－ 4) ， EF → ＝ (2 ，－ 2 ，－ 2) ， AF → ＝ (2,2,0) ． B 1 F → · EF → ＝ ( － 2) × 2 ＋ 2 × ( － 2) ＋ ( － 4) × ( － 2 ) ＝ 0 ， 则 B 1 F → ⊥ EF → ， ∴ B 1 F ⊥ EF . 图 13－6－9 解法一：(传统方法) (1)如图 13－6－10，取 OB 中点 E，连接 ME、NE. ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD. 又∵NE∥OC，∴平面 MNE∥平面 OCD.∴MN∥平面 OCD. 图 13－6－10 *