金版学案2014-2015学年高中数学 1.2.1 平面距离问题时训练 新人教版必修5.docVIP

1.2　应用举例 1．2.1　平面距离问题 ?基础达标 1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为(　　) A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20° 解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求． 答案：C 2．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　) A.分钟 B.小时 C．21.5分钟 D．2.15分钟答案：A 3．如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为(　　) A．3 km B．3 km C．6 km D．3 km 解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.故选A. 答案：A 4．在△ABC中，若C＝90°，a＝6，c＝10，则AB边上的高等于(　　) A. B. C. D. 解析：如下图所示，Rt△ABC中，b＝＝8，AB边上的高h＝＝.故选D. 答案：D5.等腰三角形一腰上的高是，底边长为2，则这条高与底边的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：如下图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高CH＝，而底边BC＝2， ∴cos ∠BCH＝＝， ∵0°∠HCB90°，∴∠HCB＝60°.故选C. 答案：C6.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A、B两点的距离为(　　) A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m 解析：如下图所示，△ABC是Rt△，AB＝AC， ∴AB＝50 m．故选B. 答案：B 巩固提高 7．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为(　　) A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km 解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2， 在△ABC中由勾股定理得： AB＝＝＝4.故选C. 答案：C 8. 如右图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝100 m，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A、B两点的距离为(　　) A．50 m B．100 m C．100 m D．100 m 答案：A 9. 如右图所示，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间． 解析：设所需时间为t小时，在点B处相遇， 在△ABC中，AC＝10，AB＝21t，BC＝9t， ∠ACB＝360°－135°－105°＝120°. 由余弦定理： (21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°， 整理得：36t2－9t－10＝0， 解得：t1＝，t2＝－(舍去)， 由正弦定理得： ＝? sin ∠CAB＝＝， ∴∠CAB＝21°47′， 答：该海上救生艇的航向为北偏东66°47′，与呼救船相遇所需时间为小时． 10． 如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)? 解析：连接BC，由余弦定理得： BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700. 于是，BC＝10. ∵＝，∴sin ∠ACB＝， ∵∠ACB＜90°，∴∠ACB＝41°. ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援． 1．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解． 2．解斜三角形应用题的一般步骤． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求