高中数学新人教A版选修 第2章2.2.2反证法 课件.pptVIP

2．2.2　反证法 学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 知能优化训练 课前自主学案 2．2.2　反证法 课堂互动讲练 课前自主学案 综合法是“________”，而分析法则是“________”．它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好． 温故夯基 由因导果 执果索因 1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾． 知新益能 不成立 假设错误 原命题成立 已知条件 公理 定义 定理 用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假q就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面 q错误时，q就一定正确． 问题探究 课堂互动讲练 用反证法证明否定性命题 考点突破 结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法． 【思路点拨】　直接说明，不易入手，故应用反证法. 例1 【思维总结】　本题涉及方程的根，所以应从根的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾． 变式训练1　已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)0. 所以(a＋b＋c)20，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0. 当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”． 用反证法证明存在性问题 已知a≥－1，求证三个方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解． 例2 【思维总结】　反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现． 结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． 用反证法证明唯一性问题 例3 【思路点拨】 【证明】　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明． 图1 (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a. 因为AB⊥平面α ，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． (2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC. 图2 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线． 【思维总结】　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性． 变式训练3　求证方程2x＝3有且仅有一个实根． 证明：∵2x＝3， ∴x＝log23，这说明方程有一个根． 下面用反证法证明根的唯一性． 假设方程2x＝3有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1， 如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾． 如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾． 因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故方程2x＝3有且只有一个根． 方法技巧 1．反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性． 方法感悟 2．结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明