高中数学新人教A版选修 第3章3.1.1数系的扩充和复数的概念 课件.pptVIP

3．1　数系的扩充和复数的概念 3．1.1　数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件． 知能优化训练 课前自主学案 3．1.1　数系的扩充和复数的概念 课堂互动讲练 课前自主学案 温故夯基 ? Δ0 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是____，i叫做________，a叫做复数的____，b叫做复数的____． ②表示方法：复数通常用z表示，即z＝_____________． 知新益能 虚数单位 实部 虚部 实数 a＋bi(a、b∈R) (2)复数集 ①定义：由________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母 __表示． 2．复数的分类及包含关系 实数 虚数 a＝0 a≠0 全体复数 C 3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则 a＋bi＝c＋di?___________； a＋bi＝0?________. a＝c，b＝d a＝b＝0 1．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是虚部． 2．复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分． 问题探究 3．两个复数能否比较大小？ 提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小． 课堂互动讲练 考点突破 复数的概念和性质 规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾． 判断下列说法是否正确． (1)当z∈C时，z2≥0. (2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． (3)若ab，则a＋ib＋i. (4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1. 【思路点拨】　根据复数的概念可以判定． 例1 【解】　(1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立． 若z＝i，则z2＝－10. (2)错误．当a＝－1时， (a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R. (3)错误．两个虚数不能比较大小． (4)错误．当且仅当x，y∈R时，x，y才是x＋yi的实部和虚部．此时x＋yi＝1＋i的充要条件才是x＝y＝1. 【思维总结】　数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立． 如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等． 变式训练1　下列命题： ①若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x＝±1； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________． 故由此分析可知各命题的真假． 在①中，若x＝－1，则不成立； ②若a＝0，则ai不是纯虚数． ③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集． 答案：0 复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分为实数、虚数及纯虚数． 复数的分类 例2 【思维总结】　利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，可据此列出方程组求解． 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组． 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y. 【思路点拨】　两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等． 复数相等及应用 例3 【思维总结】　一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决． 互动探究3　若本例条件变为x、y∈R，且满足(2x－t)＋i＝－y－(t＋y)i.求点(x，y)满足的轨迹． 方法技巧 1．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面． 2．两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等．要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用. 方法感悟 3．把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要． 失误防范 1．一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小． 2．确定复数的实部和虚部时，不要只根据复数的形式：x＋yi，还要看x、y是否为实数，同时还要使x、y有意义．