常微分方程67326.pptVIP

其中 分别是 的特解。(定理1) 因此对 类方程，可以直接令其特解为： 其中 例 7 求微分方程 的满足 的解。 解 (1) 则对应的齐次方程的通解为： 是特征根，而 为零次多项式, ) (注意到 故原方程的特解可设为： (2)用待定系数法求出 比较两边系数，得 于是特解为, 所以原方程的通解为, 故原方程对应初值条件的特解为： (3) 定理2 ( 广义叠加原理 ) 的解。 例 8 解 分四步： (1) 求对应齐次方程的通解； (2) 求方程 的一个特解； 回代求得 (3) 再求方程 的一个特解； 再回代又可求出 于是 就是原方程的一个特解。 (4) 最后，得到原方程的通解为： 以上求非齐次方程特解的待定系数法 可以推广至 n 阶常系数线性微分方程， 当 为 所示的函数时， 则同样可令特解为： 待定多项式。 同次 高阶变系数线性微分方程的求解举例 一般形式 例 9 1. Euler 方程 (二阶) * 常微分方程 Ordinary Differential Equations (5)高阶常系数线性微分方程 4. 高阶线性微分方程 (第二册P.295始) 1.高阶线性微分方程解的结构 n 阶线性微分方程的一般形式 对应的齐次线性方程是 引入新的未知函数,令 于是 若记: 的解； 则方程 就分别等价于线性微分 方程组: 当求出 的解 后， 它的第一个分量 就是方程 的相应解 以互相转化。 重要的是，由以上关系可知： 反之，当求出 的一个解 后，对 对它逐次求导，就可以得到方程组 同理，方程 与 的解类似地也可 2. 常系数齐次线性微分方程的求解 其中 A 为常数矩阵 等价 的特征方程为： 亦即： 由方程 与 的联系,根据定理5的结论,有 特征方程 有n个单实特征根 则 的通解为: 特征方程 有 s 个互不相同的实特征根 这种情况下齐次方程 的基本解组为： 所以, 方程 的通解为: 对于特征方程的每一个 k 重 复 特征根 在基解组中对应占有 2k 项, 为 根据代数基本定理,n次代数方程有且仅有n 个根,因此特征方程 的特征根共有n个,(重 根以重数记)。 的n个无关基解与特征根有 以下对应关系: 每个单实特征根 特征根(共n个) 对应无关基解的形式及项数 （一项） 每个 重实特征根 每对共轭复单根 每对 重共轭复根 《无关基解与特征根的对应关系》 例1 解方程 解 先求特征方程的根， 故通解为 例2 求解 解 先求特征方程的根， 对应 在基解组中占有三项： 对应 两复值无关解 用Euler公式 又得两个无关解： 通解为 3.常系数非齐次线性微分方程的求解 以下仍用代数解法——待定系数法， 而且仅就二阶常系数非齐次线性微分方 程进行讨论。 即 设方程 有一个如下形式的特解： 将 代回非齐次方程 ， 在 是方程 的解的假设下， 是一个恒 等式, 因此可以通过比较 两边同次幂的系 数而确定多项式 Z(t). 以下分三种情况讨论 . 《1》 比较两边同次幂的系数，可确定 m + 1 个 系数从而得到特解 代入 式 (即下式) 《2》 《3》 这时 同理可分析出, Z(t)必须为 m + 2 次多项式, 因此令： 例 3 求 的一个特解. 解 解 例4 求解 化简得： 原方程特解为 原方程通解为 例5 求解 解 思考 - P.314 —N.2, 3, 4. 4月7日作业 第二册P.314 —— 习题7.4 — N.5，N.6, N.7(1)(2)，N.8(1)(3) 定理 1 利用 Euler 公式， 所以当 只要