第十二讲 常微分方程数值解法.pptVIP

第十二讲常微分方程数值解法 第十二讲主要知识点 欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法 欧拉法的收敛性 龙格－库塔方法、线性多步法、预估－校正法*。 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法* 问题的提出 问题的提出(续1) 问题的提出(续2) 相邻两节点间的距离 称为步长，通常在计算上采用相等的步长 ，这时等距节点 ， ． 初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的 求出 。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。 问题的提出(续3) Euler 方法(推导2） 差商方法 Euler方法 数值积分方法 Euler方法(续) 数值积分方法 隐式Euler方法 向后差商 二步Euler方法 中心差商 梯形公式 梯形公式(续) 梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式Euler方法的算术平均。 梯形公式的精度为二阶。 例：用梯形公式求下列初值问题的解在 改进的Euler方法 改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合，也称作预估---校正法。 改进的Euler方法(续1) 嵌套形式 改进的Euler方法(续2) 局部截断误差 称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为 。 Euler方法和隐式Euler方法的精度是一阶的。 二步Euler方法的精度是二阶的。 龙格-库塔方法 改进的Euler方法也可写成 二阶龙格-库塔方法 二阶龙格-库塔方法(续1) 要使二阶方法的局部截断误差为 ，四个系数值应满足下列关系式： 二阶龙格-库塔方法(续2) 特例1： 二阶龙格-库塔方法(续3) 特例2： 三阶龙格－库塔方法 四阶龙格－库塔方法 例题分析 两点说明 变步长的龙格—库塔方法 公　式 线性多步法 线性多步公式的导出 线性多步公式的导出(续1) 线性多步公式的导出(续2) 线性多步公式的导出(续3) 线性多步公式的导出(续4) 线性多步公式 常用的线性多步公式 常用的线性多步公式(续) 利用数值积分方法求线性多步公式 利用数值积分方法求线性多步公式(续1) 利用数值积分方法求线性多步公式(续2) 利用数值积分方法求线性多步公式(续3) 利用数值积分方法求线性多步公式(续4) 利用数值积分方法求线性多步公式(续5) 线性多步法小结 本讲结束！谢谢大家！再见！ * * 在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题 的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解， 其基本思想是完全一样的．解初值问题有多种解 析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才 能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。 初值问题的数值解法，就是寻求方程的解 在自变量 的一系列离散节点上的近似值。 初值问题 将微分方程两端从 到 积分，得 这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求 的近似公式。