第三章 导数的应用.doc

第三章 导数的应用 本章知识结构导图 §3.1数学家的故事: 法国最有成就的数学家—拉格朗日(Lagrange) 拉格朗日法国数学家、物理学家1736年1月25日生于意大利西北部的都灵19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授1766年德国的普鲁士王腓特烈邀请去柏林不久便成为柏林科学院通讯院院士居住达二十年1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎其间出任法国米制委员会主任并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授最后于1813年4月10日在巴黎逝世拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛在探讨“等周问题”的过程中他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法为变分法奠定了理论基础完成《分析力学》一书建立起完整和谐的力学体系两篇著名的论文《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》总结一套标准方法即把方程化为低一次的方程(辅助方程或预解式)以求解五次方程然而他的思想已蕴含着伽罗瓦群论在数论方面也显示出非凡的才能费马提出的许多问题解答他还证明了圆周率的无理性这些研究成果丰富了数论的内容他巨《解析函数论》为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试他企图把微分运算归结为代数运算从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量并想由此出发建立全部分析学他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响成为实变函数论的起点 而且他还在微分方程理论中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释提出线性变换的特征值概念等数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一拉格朗日的研究工作中约有一半同天体力学有关是分析力学的创立者为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路他用自己在分析力学中的原理和公式建立起各类天体的运动方程三体问题的求解方法对流体运动的理论有重要贡献他还研究了彗星和小行星的摄动问题提出了彗星起源假说等§3.2 微分中值定理与洛必达法则 一、罗尔（Rolle）定理 【定理1】 设函数满足条件: （1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）, 则至少存在一点, 使得（证略）. 下面来考察一下罗尔定理的几何意义: 图3.1 如图3.1所示, 若在闭区间上的连续曲线, 其上每一点（除端点外）处都有不垂直于轴的切线, 且两个端点、的纵坐标相等, 那么曲线上至少存在一点, 使曲线在点处的切线与轴平行, 即导数为零. 事实上, 由于闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值, 以上点就是该曲线的最大值或最小值处. 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 罗尔定理中的第三个条件相当特殊, 如果去掉这个条件而保留其余两个条件, 可以得到一个在微分学中十分重要的拉格朗日中值定理. 【定理2】 若函数满足条件: （1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 则至少存在一点, 使. 下面来考察一下拉格朗日中值定理的几何意义: 如图3.2所示, 若在闭区间上的连续曲线, 其上每一点（除端点外）处都有不垂直于轴的切线, 那么曲线上至少存在一点, 使曲线在点处的切线与弦平行. 图3.2 【证明】 引入一个辅助函数, 显然在上连续, 在内可导, 且, , 所以, 于是函数满足罗尔定理中的三个条件, 所以至少存在一点, 使得, 即 =. 对于拉格朗日中值定理的结论, 若令, 则. 故罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况. 作为拉格朗日中值定理的一个应用, 我们来导出下面两个十分有用的推论. 【推论1】 如果在内, 函数导数恒等于, 则在内为常数. 【证明】 任意取, 由拉格朗日中值定理有 , 而, 故, 即, 这表明在内为常数. 【推论2】 如果在内, 有, 则和至多相差一个常数, 即 （为常数）. 【证明】 因, 所以, 由推论1知, . 三、柯西（Cauchy）中值定理 【定理3】 如果函数, 满足条件: （1）在上连续, （2）在内可导, （3）, 则至少存在一点, 使得 . 证略. 柯西中值定理中的时, 就变成拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理是更一般的定理. 【例1】 证明当时, . 【证明】 设, 在上, 满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在一点, 使得, 即, 所以 . 【例2】 证明 . 【证明】 设, 则, 所以, 令 , 则 , 所以 . 四、洛必达法则 在函数的极限运算中我们碰到过下面两种情况, 即当或（）时与都趋向于或趋向于,