矢量微分算符▽的探讨.pdfVIP

No．6 第3I卷第6期 大学物理 V01．3l COLLEGEPHYSICS 2012 2012年6月 June 矢量微分算符V的探讨 卢端华 (佛山科学技术学院光电子与物理学系．广东佛山528000) 摘要：本文试图从微分几何的角度探讨矢量微分算符V在各种正交坐标系的梯度、散度、旋度和拉普拉斯符中的不变形 式；并探讨了运用V算符时容易出现混乱的根源，提出了‘括弧矢量优先’的判断与解决方法，从而扫除了运用V算符的若于 障碍． 关键词：矢量微分算符V；矢量分析；微分几何；正交曲线坐标系 411 文献标识码：A 中圈分类号：0183；0186；0 文章编号：i000·0712(2012)06—0007—06 在矢量场论中，经常采用矢量微分算符V来表 2 V算符的原形是什么 示可微函数的梯度、散度、旋度和拉普拉斯符： grad，=Vf，divA=V·A， 我们知道，为了寻找在坐标变换下几何性质和 rot A=VxA，Af=V2， 物理规律的表达保持不变的形式，G．Rieci在19世 众所周知，它是麦克斯韦最初在他的名著《电磁理 纪末引入了张量的概念．既然上面问题的焦点1) 论》…发表时引入用来表达他的方程组，后来经吉 涉及到坐标变换，我们可循此思路，找出V算符的原 布斯【2】、海维赛口1等人的努力，使矢量分析中的表 形，即在坐标变换下保持不变的形式． 达式因应用了V算符丽变得简洁，并随着矢量场论 2．1正交曲线坐标系中基矢的特点 广泛应用而迅速传播的．虽然矢量分析从建立到今 天已有一百多年了，矢量场论已是一门十分成熟的 的微分(遵守爱因斯坦约定，下同)： 理论，但有关V算子及其运算法则却不断被人们质 dg=da‘P‘+在‘d暑‘ (1) 疑H1．虽几经人们的改进和完善”‘71，但仍不尽如人 由于笛卡儿坐标系在空间任一点基矢的大小、方向 意．特别是给理工科的同行们应用有关理论带来直 接影响．近年来还有人为此而欲创建一套新的符号 线坐标系就并非如此简单，拿极坐标(图1)来说，当 取代之。8’91。足见有探讨的价值．下面我们从微分几 0从0，变到吼时，尽管基矢的长度保持不变，但不管 何的角度加以讨论，并对一些容易混淆的问题的理 是口。还是P。的方向都发生了改变，de；=0就不再成 解加以探讨． 立．这就是曲线坐标系中的基矢不同于笛卡儿坐标 系的特点．因此，第一个问题的症结就在这里．那么 1问题的焦点 de‘=? 以下两点是人们对V算符普遍质疑的地方． 1)不仅在不同的正交坐标系中，V算符没有统 一的形式；而且在同一坐标系的梯度、散度和旋度 中，V算符的形式也不相同，‘还要加上没有根据的 规则才能得到正确的结果¨“． 2)在推导或证明含V算符的表达式时‘虽然有 时可以得到正确的结果，…有时会出现错误的结 图1 果’Es)． 牧稿日期：2011-04—13；修回日期：201l-12-28 作者简介：卢端华(1947一)，男，广东商要人，佛山科技学院光电子与物理学系讲师，主要从事机电工程及理论物理的教学和研究工作 万方数据