有关序列紧空间上连续自映射的一极限点.pdfVIP

第 33卷 第 5期 西 南 师 范 大 学 学 报 (自然科 学版) 2008年 1O月 Vo1．33 No． 5 JournalofSouthwestChinaNormalUniversity (NaturalScienceEdition) Oct． 2008 文章编号：1000—5471(2008)05—0039—04 关于序列紧空间上连续 自映射的 一极 限点 唐晓弦， 朱培勇 电子科技大学 应用数学学 院，成都 610054 摘要：在一般拓扑空间上研究拓扑动力系统的轨道渐近性质．证明了以下结果 ：设 X是序列紧空间，，是x上的连 续 自映射，点 的CO一极限集 (，，)为有限集当且仅当它是，的一个周期轨．作为推论 ，在紧空间和可数紧空间中 也有完全相同的结果． 关 键 词 ：m一极限点；序列紧空间；连续 自映射 ；周期轨 中图分类号 ：O189．11 文献标识码 ：A 连续 自映射的周期点集 、回归点集、叫一极 限点集及其相关性质是拓扑动力系统研究的重要 内容之一． 关于这些点集的研究，2o世纪8O年代 ，文献[1—3]在实线段上连续 自映射的研究中作出了重要贡献．1993 年，文献[4]将实线段推广为一种称为树 的特殊偏序集．此后 ，文献[5，6]对连续树映射的动力系统行为进 行研究 ，得到了一些很好的性质．随着动力系统的研究向高维空间和抽象空间方面不断延伸 ，人们 已经想 到：在一般拓扑空间上引人动力系统的概念并研究其各种性质(参见文献[7])．人们 已经获得的实线段上 连续 自映射和连续树映射的动力系统性质哪些能够推广到一般拓扑空间的连续 自映射呢? 本文就上述问题进行一些讨论 ，首先在文献[7]的基础上补充定义一般拓扑空间上连续 自映射的回归 点、 一极限点等概念．然后 ，利用点集拓扑学 的方法与技巧 ，在列紧空间中证明了如下结果 ： 定理 1 设 x是一个序列紧空间，厂是x上 的连续 自映射并且 ．zEX，则点z关于 ／的 一极限集 (z， 厂)为非空有限集当且仅 当它是 ，的一个周期轨． 定理 1正是文献[1]的定理 17．1和文献[23的定理 3在一般拓扑空间中的推广．因此 ，作为这定理的推 论 ，不难得知，在紧度量空间和可数紧的度量空间中有完全相同的结果． 本文用 X表示拓扑空间 ，简称空间．N()表示点 的开邻域系，co(x，，)表示 (，厂)关于空间X的 闭包．当映射 厂：x— X 是一个连续映射时，称 厂为 X 上的一个连续 自映射．并且用 尸 ()表示 (厂(z))，f3(z)表示 ( ())，…，广 (z)表示 (厂 (z))．特别地，尸(z)===z，即尸表示空间x上的 恒等映射．在整个文章中，所涉及到的空间都假设是 Hausdorff空间(即丁2空间)． 首先在文献E73中的定义的基础上，补充定义周期轨、回归点、CO一极限点等概念． 定义 1 设 ∈X，f是空间X上 的一个连续 自映射 ，点z称为是，的一个周期点，如果存在 ∈N， 使得 厂I(z)==：z；设 ，2EN，点 z称为是厂的一个 一周期点，如果 尸()一 ，但 fk()≠ ，这里k一 1， 2，…，一1；称 {尸()fk一 0，1，2，…，n一 1}为 ，的 一周期轨 ，如果点 是 ，的一个 一周期点． 定义 2 设 厂是空间x上的一个连续 自映射 ，点 z称为是 ，的一个 回归点，如果 VU ∈N(z)，存在 7z ∈N，使得 广 (z)∈U． 定义3 设 ，是空间x上的一个连续 自映射 ，点 ∈X称为点,7C∈X关于 ，的一个CO一极限点 ，如果 序列 z，f(x)，尸()，…有一个子序列 广t(z)，尸z(z)，…收敛于点y．点 EX关于 的全体(13一极限 收稿Et期 ：2008—03—26 基金项 目：国家自然科学基金资助项 目． 作者简介 ：唐晓弦 (1985一)，女，四川达州人，硕士研究生，主要从事混沌理论与拓扑动力系统的研究 4O 西南师范大学学报 (自然科学版) 投稿 网址 http：／／xbgjxt．SWH．edu．Crl 第 33卷 点构成的集合记为 ∞(z， )． 为 了证明上面的主要定理 ，我们先