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第六章 次数资料分析 ——?2检验 小插曲：有关Karl Pearson Karl Pearson卡尔·皮尔森 (1857-1936)：英国生物学家和统计学家，旧数理学派和描述统计学派的代表人物，现代统计科学的创立者，被公认为统计学之父。 他是个社会主义者。出于对马克思的敬仰，他在二十三岁那年，把名字从英文的习惯写法Carl改为与马克思相同的Karl 。 K. Pearson 22岁毕业于剑桥大学数学系；曾参与激进的政治活动。出版几本文学作品，并且作了三年的律师实习。27岁进入伦敦大学学院 (University College, London)，教授数学与力学，从此待在该校一直到1933年。 K. Pearson是活跃在19世纪末叶和20世纪初叶的罕见的百科全书式的学者。他是应用数学家、生物统计学家和优生学家，也是天文学、弹性和工程问题专家，又是名副其实的科学哲学家、历史学家、民俗学家、宗教学家、人类学家、语言学家、伦理学家，还是律师、教育改革者、社会主义者、人道主义者、妇女解放的鼓吹者，同时还是受欢迎的教师、编辑、文学作品和人物传记的作者。 K. Pearson 最重要的学术成就，是为现代统计学打下基础。许多熟悉的统计名词如标准差，成分分析，卡方检验都是他提出的。 K. Pearson、Galton 与 Weldon 为了推广统计在生物上的应用，于1901年创立统计的元老期刊《Biometrika》， 由 K. Pearson 主编至死，但是 K. Pearson 的主观强，经常对他本人认为有“争议”的文章， 删改或退稿，并因此与英国二十世纪最有才华的统计学家 Fisher 结下梁子。 K. Pearson在统计学方面的主要贡献： 1.推导出 分布，提出 检验（1900年）。 2.发展了回归和相关理论。 第一节 ?2统计量与?2分布 一、 ?2统计量的意义 为了便于理解，现结合一实例说明?2统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性别比例计算，公、母羔均应为438只。以A表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数，可将上述情况列成表6-1。 表6-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数 从表6-1看到 ，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。 这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊的性别统计当作是一次抽样调查)、还是羔羊性别比例发生了实质性的变化? 要回答这个问题，首先需要确定一个统计量，用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。 为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。从表7-1看出：A1-T1 =-10，A2-T2=10，由于这两个差数之和为0，显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度。为了避免正、负抵消，可将两个差数A1-T1、A2-T2 平 方后再相加，即计算∑(A-T)2，其值越大 ，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反之则越小 。但利用∑(A-T)2表示实际观察次数与理论次数的偏离程度尚有不足 。 例如，某一组实际观察次数为505、理论次数为500，相差5；而另一组实际观察次数为26、 理论次数为21，相差亦为5。显然这两组实际观察次数与理论次数的偏离程度是不同的。因为前者是相对于理论次数500相差5，后者是相对于理论次数21相差5。为了弥补这一不足，可先将各差数平方除以相应的理论次数后再相加，并记之为?2 ，即 (6-1) 也就是说?2是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计量， ?2越小，表明实际观察次数与理论次数越接近； ?2 =0，表示两者完全吻合； ?2越大，表示两者相差越大。 对于表7-1的资料，可计算得 我们就是要确定这个?2是否显著 数据格式与计算公式 二、?2分布（P43） 上面在属于离散型随机变量的次数资料的基础上引入了统计量?2， 它近似地服从统计学中一种连续型随机变量的概率分布???2分布。下面对统计学中的?2分布作一简略回顾。 设有一平均数为μ，方差为 的正态总体。现从此总体中独立随机抽取n个随机变量：x1，x2，…，xn，并求出其标准正态离差： 记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为?2： 三、 ?2的连续性矫正 由(6-1)式计算的?2只是近似地服从连续型随机变量?2分布。在对次数资