无穷积分柯西判别法中的P的选取方法.docVIP

无穷积分柯西判别法中的选取方法 朱寿国 （南京师范大学泰州学院，江苏泰州，225300） 摘 要 无穷积分柯西判别法中的选取是一个教学难点，本文借助于无穷大量阶的比较来选取，有利于学生的理解和应用． 主题词 反常积分；柯西判别法；无穷大量 中图分类号 0172．2的有穷性，但在实际问题中往往需要突破这个限制，来研究无穷区间上的积分，这就是无穷积分．无穷积分柯西判别法是无穷积分敛散性的一个重要的判别方法，且无穷积分柯西判别法的教学也有助于数项级数敛散性的教学，因此有必要讨论无穷积分柯西判别法． 文[1]给出了反常积分的柯西判别法： 定理：设定义于，，在任何有限区间上可积，且 ． 则有： 当，时，收敛； 当，时，发散． 在讨论具体无穷积分时如何选取呢？下面借助于无穷积分阶的关系来选取． 首先给出无穷大量阶的关系． 1 无穷大量阶的关系 定义1[2] 设当时，函数和都是无穷大量，若，则称 作者简介：朱寿国（1981-），男，硕士，讲师，泛函分析，Email：zhushouguo@ 当时，与是等价的无穷大量． 定义2[2] 设当时，函数和都是无穷大量，若，则称当时，是比高阶的无穷大量． 定理1 当时，是与等价的无穷大量． 证 ． 定理2 当时，是与等价的无穷大量，其中． 证 ． 类似于等价无穷小量的代换，等价无穷大量也可以在求极限中代换． 例如 利用极限运算的洛必达法则很容易得到下列结果． 定理3 对任意的正数和任意常数，当，函数是比的高阶的无穷大量，函数是比高阶的无穷大量． 2 柯西判别法中的选取方法 取法1 若或或，则的选取方法是让中分子分母的最高次数相同，其中． 以说明为例，由定理1、2有 取，则，根据柯西判别法，若，则收敛，若，则发散． 例1 讨论无穷积分的收敛性． 解 取使中分子分母最高次数相同，则取． 因为，因此根据柯西判别法知，是发散的． 取法2 若中含有或，则要借助于定理3来取． 下面借助例题来说明的取法． 例2 讨论无穷积分的收敛性． 分析 ，根据定理3，是比高阶的无穷大量，即不论是何值，，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此我们取为任何一个大于的数． 解 取为任何一个大于的数，不妨取，因为，因此根据柯西判别法知，对任何，无穷积分都收敛． 例3 讨论穷积分的收敛性． 解 ，根据定理3，是比的高阶的无穷大量，当，，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此需要取，即当时，收敛；当时，．而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取，即当时，发散． 因此借助于无穷大量阶的比较，我们很容易取出，然后根据柯西判别法来判断反常积分的敛散性．通过无穷大量阶的比较来确定，学生很容易理解与应用． 参考文献 [1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2001． [2] 许绍傅，姜东平，宋国柱，等．数学分析教程（上册）[M]．南京：南京大学出版社，2000．