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线性方程组理论是线性代数的重要内容之一,在本书中是行列式、矩阵以及向量知识的具体应用。线性方程组的矩阵形式为,向量形式为。其中为该方程组的系数矩阵,为方程组的元未知量矩阵,为方程组的系数矩阵的列向量,为方程组的常数项矩阵。
解线性方程组可采用克莱姆法则和矩阵初等变换的方法。克莱姆法则要求方程的个数与未知量个数相等且系数矩阵的行列式不等于零;克莱姆法则相当于使用逆矩阵方法求解线性方程组,即。它建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,但计算量较大,因此主要用于理论推导。一般情况下,将线性方程组写为矩阵的形式,通过研究系数矩阵与增广矩阵来判断方程组是否有解及求解方程组。
本章有如下重要结论:
(1)维向量可由向量组,,线性表式的充分必要条件是线性方程组:
有解,也等价于向量组的秩
(2)齐次线性方程组的系数矩阵的秩,则齐次线性方程组的基础解系由个解向量构成。
(3)非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。
(4)非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解加上一个非齐次线性方程组的特解。
例1:设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩,则有非零解的充分必要条件是( )。
A. B. C. D.
分析:系数矩阵记为向量形式,则齐次线性方程组的向量形式为。那么,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是向量组线性相关,于是有。所以选C
例2:设线性方程组:
的系数矩阵为,阶方阵,且,试求的值。
分析:意味着的列向量为齐次线性方程组的解。
解:将矩阵按列分块,记为。则有:
因而有,即是齐次线性方程组的解,又因为,所以,齐次线性方程组非零解。于是:
例3:已知阶方阵,且的每个列向量都是以下方程组:
的解。求的值并证明。
分析:将方程组写为矩阵的形式,意味着的列向量为齐次线性方程组的解。注意反证法。
解:因为,故中至少有一个非零列向量,所以方程组有非零解。于是:
假设,则可逆,于是:
这与已知条件相矛盾,所以假设不成立,故。
例4:是行列矩阵,是行列矩阵,则线性方程组( )。
A.当时仅有零解 B.当时必有非零解
C.当时仅有零解 D.当时必有非零解
分析:是阶方阵,则仅有零解意味着,又因为:
所以,当时,线性方程组有非零解。
选D。
例5:向量组:
与向量组:
具有相同的秩,可由线性表示,求的值。
分析:这是向量组,矩阵,向性方程组的综合问题,要搞清楚三者之间的关系。
解:因为可由线性表示,即:
写成矩阵的形式为:
由于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是,所以有:
又因为:
所以,向量线性无关,且。根据:
有:
例6:向量组,,,则三条直线:
(其中)交于一点的充分必要条件是:( )。
A.线性无关
B.线性相关
C.)
D.线性相关,线性无关
分析:则三条直线交于一点的充分必要条件是由,,组成的非齐次线性方程组有唯一解。
解:非齐次线性方程组有唯一解的中分必要条件是。 所以:
根据向量的秩的性质知线性相关,线性无关。
选项A是必要但非充分条件;选项B表示三条直线没有公共交点;选项C保证方程组有解,即三条直线有交点,但不能确定交点唯一;选项D正确。
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