福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间向量的坐标运算》学案.docVIP

第2课时 空间向量的坐标运算 设a＝，b＝ (1) a±b＝ (2) a＝ ． (3) a·b＝ ． (4) a∥b ；ab ． (5) 设 则＝ ， ． AB的中点M的坐标为 ． ． 设， ∵∥，∴，， ∴，即 解此方程组，得。 ∴，。 例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点． (1) 求BM的长； (2) 求的值； (3) 求证：． 解：以C为原点建立空间直角坐标系. (1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．. (2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）. . (3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N. B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC， ∴ 即 ，即点N的坐标为(, 0, 1)， 从而N到AB、AP的距离分别为1，. (2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝ ＝. 例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1． (1) 证明 平面； (2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小； (3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论． （1）证明略； （2）易解得； （3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为 所以，， ，设点F是棱上的点，，其中，则．令得 解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面． 例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4. (1) 求和点G的坐标； (2) 求GE与平面ABCD所成的角； (3) 求点C到截面AEFG的距离． (1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴ 又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD的法向量 ，设GE与平面ABCD成角为，则 ∴ (3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0) ∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3) ∴ 取z0＝4，则＝(4，－3，4) ∵ 即点C到截面AEFG的距离为． 变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (2)求点D到平面PBG的距离； (3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值． (1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。， ∴GE与PC所成的余弦值为． (2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) ∵， ∴点D到平面PBG的距离为n |＝. (3)设F(0，y，z)，则。 ∵，∴， 即， ∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1， 故F(0，，1) ，，∴。 对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题． 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． 5 用心 爱心 专心 基础过关 典型例题 x y z B1 C1 A1 C B A M N C D B A P E Z A D G E F C B x y P A G B C D F E 小结归纳