北京四中高中数学 任意角和弧度制提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 知识点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3．常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad) 3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 【典型例题】 类型一：终边相同的角的集合 例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与30°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案．=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。 （2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。 【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。 举一反三： 【变式】已知=－1910°。 （1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。 【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470° 【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°， ∴－1910°=－6×360°+250°， 相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。 （2）令=250°+k·360°（k∈Z）， 取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角； 250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。 例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。 （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于x轴对称； （3）、的终边关于y轴对称。 【答案】（1）（2）+=k·360°（3）+=(2k+1)·180° 【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。 （2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。 （3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z） 【总结升华】 首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案。 举一反三： 【变式1】已知是任意角，则与的终边（ ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】 B 类型二：角所在象限的研究 例3．若是第二象限角，试