抛物型方程基于POD方法的时间二阶精度有限元降维格式.pdfVIP

中国科学: 数学 2011 年 第41 卷 第5 期: 447 460 抛物型方程基于 方法的时间二阶精度 有限元降维格式 ∗ ∗ 罗振东 陈静 谢正辉 安静 孙萍 华北电力大学数理学院, 北京 102206; 贵州师范大学数学与计算机科学学院, 贵阳 550001; 中国农业大学理学院, 北京 100083; 中国科学院大气物理研究所, 北京 100029 E-mail: zhdluo@163., jing quchen@163.com, zxie@, aj154@163.com, sunp@ 收稿日期: 2010-08-16; 接受日期: 2011-04-13; * 通信作者 国家自然科学基金 (批准号: 、国家基础研究项目 (批准号: 2010CB428403, 2009CB421407, 2010CB951001)、河北省自然科学基金(批准号: A2010001663) 和中央高校基本业务费专项资金 (批准号: 2009-2-05) 项目资助 摘要 将特征正交分解 (proper orthogonal decomposition, 简记为POD) 方法应用于抛物型方程通常 的时间二阶精度Crank-Nicolson(简记为CN) 有限元格式, 简化其为一个自由度极少的时间二阶精度 CN 有限元降维格式, 并给出简化的时间二阶精度 CN 有限元解的误差分析. 数值例子表明在简化的 时间二阶精度CN 有限元解和通常的时间二阶精度CN 有限元解之间的误差足够小的情况下, 简化的 时间二阶精度CN 有限元格式能大大地节省自由度, 而且时间步长可以比时间一阶精度的格式取大10 倍, 以至能更快计算到所要时刻数值解, 减少计算机计算过程的截断误差, 提高计算速度和计算精度, 从而验证降维时间二阶精度CN 有限元格式用于解类似于抛物型方程的时间依赖方程是很有效的. 关键词 特征正交分解 Crank-Nicolson 有限元格式 误差分析 抛物型方程 主题分类 65N30, 35Q10 引言 抛物型方程是一类描述物理量随时间而扩散或衰减的偏微分方程, 有许多实际应用的背景. 例如, 自然环境、工程设备及生物机体中的气体的扩散、液体的渗透、热的传导以及半导体材料中杂质的 扩散等许多物理现象都可用抛物方程来描述. 对于描述实际问题的抛物型方程, 由于物理问题本身的 复杂性, 其精确解往往不容易求得, 有效的方法是求其数值解. 时间二阶精度Crank-Nicolson(简记为 CN) [1, 2] , , CN 有限元格式是求解抛物型方程最有效的方法之一 然而 抛物型方程通常的 有限元格式 的自由度太多, 对于实际计算会产生很多困难. 因此, 重要的问题是在保证其数值解具有足够高精度 的情况下, 如何简化计算、节省计算量及降低内存要求. 特征正交分解 (Proper Orthogonal Decomposition, 简记为POD) 方法能提供具有足够高精度而自 [3] 由度又较少的低维模型, 从而简化计算、节省计算时间和内存 . 在信号分析和样本识别中, 称该方 [4] [5] 法为Karhunen–Lo`eve 展开 ; 在统计学中, 称该方法为主分量分析 ; 在地球物理的流体动力学和气 [5, 6] 象学中, 称该方法为经验正交函数方法 . POD 方法主要提供一种有效逼近大量数据的工具, 其实 英文引用格式 Luo Z D, Chen J, Xie Z H, et al. A reduced second-order time accurate finite element formulation based on POD for