北京大学量子力学课件_第10讲.pptVIP

第 十 讲 Ⅰ. 束缚能级与反射振幅极点的关系 束缚态 S矩阵的极点 在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。 1 半壁δ位阱的散射 由波函数连续，及其 导数的关系（在 处） 代入R分母得 其中 这与直接求解双 对称势的奇宇称所得 的确定本征值的方程完全一致。 2 有限深方位阱：（ ） 其中, 若位势有束缚态，则 ，而 为R或S的极点 。 令 ， Ⅱ. 一维谐振子的代数解法： 若粒子在 中运动。 令 ，则 （1）能量本征值 定义二个无量纲的算符 则有 于是，有二个重要结论： A. B. 可得 若 是 的本征态，相应本征值为 ， 即 则 也是 的本征态，本征值为 同样有 也是 的本征函数，相应本征值为 ， 即增加能量 。 本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态 这与 为最低能量所对应的本征态的假设 相冲突，因此 由 。 所以，最低能量为 任一激发态 ，在算符 的连续作用下， 最终必须到态 。 若 经 ，则 的本征值应为 ， 也即 。所以， 称为声子数算符。 谐振子的能量本征值取 它的能级是等间距的。 2 能量本征函数 谐振子的能量本征态，可由 作用而获得 现求归一化系数 假设： 是归一化的，相应本征值 那 所以， 至此，对谐振子势下的本征值，本征态都 已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的 任何信息都可由此得到。 为要得到在坐标空间中的解析表达式，由 其中， 是无量纲量， 。 所以 于是有 由归一化 而算符 所以， 其中 它是一多项式，最高幂次为n，系数为 ； 宇称为 ，被称为厄密多项式（ Hermit Polynomials ）。 （3）讨论和结论 A. 当粒子运动于谐振子势 中，其 能量取分立值 为一个声子所带的能量。相应的归一化波函 数 （ 而 ）。 在坐标空间中 具体而言 B. 显然是偶函数，而 是 改变奇偶性的算符，所以 的宇称为 ， 即每条能级的宇称是确定的。 C. 零点能与测不准关系：当体系处于最低 态，则 对于任何实数A＋B＝C，则有 于是有 而 所以 但由测不准关系要求 因而，只有 才不违背测不准关系。 这表明，处于谐振子势