北京大学量子力学课件_第11讲.pptVIP

第 十 一讲 Ⅰ. 相干态 A. 湮灭算符 的本征态 已证得 这类态称为相干态。 B. 相干态性质： 1. 在该态中位置和动量满足最小测不准关系 于是有 2. 相干态随时间的演化 若处于谐振子势的粒子，在 时，处于相 干态 ，则 时，体系的波函数为 于是有 这表明 的本征值在 为 ，而在时 刻 为 我们有平均值 我们也有平均值 所以， 其中 它随 的演化很接近经典谐振子的运动。 C. 本征值为实的相干态正是受迫振动的基态 这时，体系的哈密顿量为 于是，我们有 其中 如令 则 令 它的基态满足 而 所以 即 这表明 这时 所以， 是哈密顿量 的相干态。 Ⅱ. 表示力学量算符的性质 （1）一般运算规则：一个力学量如以算符 表示。它是一运算 代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 例： ，于是 即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学 方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算 符应是线性算符。所谓线性算符，即 例如 1. 例如 2. 对不显含时间的薛定谔方程 若 ， ，则 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符， 而且方程是线性齐次， 方程 就不行。因 B. 算符之和： 表示，对任意波 函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 C. 算符之积: 表示，对任意波函 数，有 ，则 D. 逆算符：算符 将任一波函数 若有另一算符 使 则称 为 的逆算符，并表为 ， 显然， E. 算符的函数： 设： 在x=0处，有各级导数 则定义算符的函数 例如: 它有各级导数， 。于是 如果函数不能以幂级数表示，则还有算符 函数的自然展开。 （2）算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能 彼此对易。 若 , ， 则 所以 算符 引入对易子： 和 的对易子 对易子有如下性质 并有 证： 成立 设： n-1成立，即 例： 求 在算符的运算时，要特别小心 。 例：如 和 对易，可证明 所以 下面是一些有用的对易关系 称为Levi-Civita符号。取值 ， 为从123→ijk的对换数。如123→312的对换数2 例： 用上述关系可证： 例： 对易关系是与坐标选择无关 例： 而 另外，对易关系与表象选择无关 如 （3）算符的厄密性（Hermiticity） A.???算符复共轭：若对波函数（任意）有 则称 为 的复共轭算符，以