【微积分课件】定积分的计算方法.docVIP

第六章 定积分 (The definite integration ) 第十六讲 定积分的计算方法 课后作业： 阅读：第六章6.4, 6.5, 6.6: pp176---193. 预习：第七章7.1, 7.2, 7.3: pp199---210. 练习 pp.182---184: 习题 6.4 : 1; 2; 3, 7, 8中的单数序号小题; 11; 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 1; 2; 3,中的单数序号小题; 4; 6; 8; 9; 11; 24; 26; 27. 作业 pp.182---184: 习题 6.4 : 3,中的双数序号小题; 5; 6; 7, (6), (8), (10); 8,(2), (4); 9; 10; 15; 16; 18; 21. 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 3,中的双数序号小题; 6; 7; 10; 12; 14; 18; 20, (1), (2); 21, (3); 22; 25; 29. 6-4 定积分的计算方法 6-4-1 变量置换法 定理：设(连续), 如果函数满足下列条件： 在上连续可导, 且; ; 则 . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用N--L公式即可证 明。 定理：设(可积), 如果函数满足下列条件： (1) 在上连续可导, 且单调 ; (2) ; 则 . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例1, 若是上的可积的奇函数; 若是上的可积的偶函数 例2, 证明 : 若, 则 (1); (2) 证：令 , , = = . 求: = 例3: 若, 求极限 . 解：= == = 例4, 若函数是以为周期的可积周期函数, 证明： (1) , ; (2) 研究函数是否也是周期函数？ 证明： (1) 做变换：, ; = (2) 是否是周期函数，要看 是否成立。而 . 结论是： 若被积函数是周期函数，则 是周期函数的充要条件是：。 若 , 则=周期函数线性函数. 因为, 这样函数是周期函数，且有 ; 则 是周期函数。这样： , . 例5: 计算. 解: = = = = = 例6: 计算. 解1：= = = = = == () 解2：=2 = = = = = = , 令, , 6-4-2 分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只是可随式的推导及时代入积分限即可: 对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别是递推型用得多。 例7 计算 解: 先求的原函数.令,则,于是 于是 例8 计算= = = 例9: 计算 解: = =. , ,. 可证: . == , , = = 例10, 台劳公式的积分形式: = = = = 若连续则有： =. 远正是台劳公式的Lagrange佘项 例11．计算定积分： [解法一] 积分区间对称，能否利用奇、偶函数积分性质？ 令 故 ， 即非奇非偶。 但 是奇函数 则 [解法二] = = 因为 是偶函数， 所以 是奇函数。 于是有 = [解法三] 用换元法:令 ， 记： ，则有 = 例12．设上连续，且满足, 证明::. [证] 证法一：反证法. 证法二：罗尔定理：令 . 则 ; ; . 第六章 定积分 第六章 定积分