【微积分课件】定积分在物理等方面的应用.docVIP

第七章 定积分的应用 ( The Applications of definite integration ) 第二十-讲 定积分在物理等方面的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.4: pp. 211---215; 7.5: 215---219 预习：第八章 8.1; 8.2 : pp. 220---237 作业: pp.218---219: 第七章综合1; 6; 13; 16; 18; 20. 7-2 定积分在物理等方面的应用 7.2.1 变力作功问题, 质量为的物体, 在外力的作用 (外力的方向与轴的夹角为)下，沿轴在从位移到, 求外力所作的功。 . 在质量为质点引力作用下, 单位质量质点运动所作的功 解： , 动能定理： , = 动量定理: 7.2.2 物体间引力问题 线密度为的杆(杆长为) 对单位质量质点的引力. , = = 7.2.3图形重心问题 平面图形的重心： 矩 , =, = , 平面曲线的重心： 矩 , , , , , 迥转体的体积与旋转面重心的关系： 由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V, 等于图形面积乘重心的y坐标为半径的圆周长。 迥转弧表面积与旋转弧重心的关系: 由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S, 等于曲线弧长乘重心的y坐标为半径的圆周长。 例，关于半园的体; 半园弧重心 的计算 1, 半园的重心: = ==. 2, 半园弧的重心: , , . 综例: 设在上连续且单调增，证明： . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令 ， 因为在上连续，故有 因在上单调增，有 ， 从而，在上单调增 又 ，所以有 ，即 [证法二] 利用定积分的性质： 因在上单调增，故有 从而 注意到 ，从而， 于是有 ， 即 [证法三] 利用积分中值定理： （ 其中， ） 而 因为在上单调增，且，所以， 从而 即 [证法四] 因为在上单调增，所以，，有 固定，对积分，得 即 再对积分，得 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 即 重心的横坐标： 第七章 定积分的应用 第七章 定积分的应用 y y=f(x) (x0,y0) 0 a (a+b)/2 b x y R dl y (x,y) 0 R x y h F(x) 0 x x+dx x dx l y h F(x) 0 x x+dx x a dx b