【微积分课件】定积分应用.docVIP

各位老师： 第十四周我开会去了。学生的课都安排好了。 第十五周的习题课上定积分的应用。因我在西安开会，星期四才能返校。现将习题课安排建议如下： 定积分应用以几何应用：求面积，弧长，旋转体体积和面积；导物理应用：主要是求变力作功，图形的重心为主。这些题目以书上练习题的难度为限。，可选作其中一些。 下面的题可选二、三个作提高题，切不可多用。 谭泽光 2002,12, 6 定 积 分 应 用 1．设有曲线族,对于每个正数(),曲线与曲线交于唯一的一点(其中)，用表示曲线与曲线围成的区域的面积；表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值. [解] 与的关系是： ，在区间单调减少。 于是反函数存在与 是 一 一 对应的。 所以, ，。 问题转化为：作为的函数， 在区间有唯一最小值。 ， 求导数： ， 于是在区间中存在，使得。通过计算知， 在区间： 上，恒有： 。 所以函数在区间有唯一驻点，并在该驻点处达到最小值。 点是闭曲面： 内的定点。求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积为最大。 [解] 设 为 , 当时，有球面面积 当时，两球面与的 交线为圆： 从方程中消去、，得 故是平面 上的圆 是一个半径为的球的球冠的面积 ，该球冠的高为 求： 视为“圆 上一段弧绕轴旋转而得” 因为 从而 球冠面积为 对求导得 令 ，的区间上的唯一驻点 由于 ， 所以，在唯一驻点 处取得最大值 , 所求球面的半径为 ： . 此题要点空间几何知识。 二、定积分证明 1. 设在上二阶可导，且，试证： . [证] 利用泰勒公式： 令 ，写出在点处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 因为，所以有 再利用定积分的性质，得到 因为 故有 2. 设在上连续且单调增，证明： . [证法一] 利用变上限定积分，利用单调性： 令 ， 因为在上连续，故有 又因为在上单调增，故有 ，从而， 在上单调增. 又 ，所以有 ，即 [证法二] 利用定积分的性质： 因为在上单调增，故有 从而有 注意到 ，从而， 于是有 ， 即 [证法三] 利用积分中值定理： （ 其中， ） 而 因为在上单调增，且， 所以， 从而 即 [证法四] 因为在上单调增，所以，，有 固定，对积分，得 即 再对积分，得 利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到 即 设，且对于满足的任意连续函数,都有 ，证明：必恒为常数. [证法一] 利用积分中值定理，有 于是，有 取 ，则 ，从而， （1） 由题设又有 （2） 由（1），（2）两式可得 ，即 故 ， 即 [证法二] 令 [证法三] 记 ，于是有 取