【微积分课件】定积分概念与性质.docVIP

第六章 定积分 (The definite integration ) 第十四讲 定积分概念及性质 课后作业： 阅读：第六章6.1, 6.2: pp158---166; 预习：6.3, 6.4: pp168---182. 练习 pp.166---168: 习题 6.2 : 1, (1), (3); 2; 3, (1); 4, (1),(3),(5); 5, (1),(5). 作业pp.166---168: 习题 6.2 : 1, (5); 3, (2); 4, (2),(4),(6); 5, (2),(3),(6); 6; 7. 6-1定积分概念与性质 6-1-1 问题引入 一 定积分(Riemann)的背景: 两个曲型问题。 求曲线所围的面积: 函数在有界区间非负连续,由轴、、)以及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形, 如何求曲边梯形的面积? 分划区间, 求得近似: 即：在中任意插入一组 点, 将分割为若干个子区间 . 将曲边梯形分成个细条. 又任取一点, ; 将第个细条近似看成是以小区间为底,为高的矩形, 于是第个细条的面积 , , . 整个曲边梯形的面积 . 无限分细，求取极限: 从直观上看, 分点越密, 各个的最大值越小, 和式 就越接近于曲边梯形的面积. 当各个的最大值=趋向于零时,如果和式的极限 存在, 则这个极限就应该是曲边梯形的面积. 己知速度求路程： 今己知质点作直线运动，其速度函数, 求在时段上的位移. 第一，分划区间，求得近似/; 即：在中任意插入一组 点, 将分割为若干个子区间 . 将此时段当作以速度作等速运动, 其. 于是第时段内的位移 , , . 整个位移的近似值： . 无限分细，求取极限: 从常理想像, 当各个小时段的最大值=趋向于零时,如果和式的极限 存在, 则这个极限就应该是时段的位移. 6-1-2 定积分概念 例 (一) 黎曼积分的定义 设函数. 在区间上任分、任取构成积分和式 ，即: 将任作一分划，即 在中插入一组点 , 将 分割为n个子区间: ; 任意取 , 构造和式 , 其中，. = 如果和式极限 存在, 则称函数在(黎曼)可积, 记作.该极限值称为在的定积分(值), 记为： . 经常用到的述语： : 被积函数; 积分区间， 分别称为积分上、下限; : 被积分式, : 积分变量。 由上述定义可知, 黎曼积分是一个特殊的极限, 这个极限过程以较复杂, 变化过程是指所有子区间的最大长度趋向于零. 其极限的存在与任何分划和任何取法都没有关系。 (二)例 1 求=? 解：(1) 做等分划：将n等分, 今=, 取; 做和式：; 因有：, =; . (2)求极限: = =1 是否真有 =1 ? (三)定积分的几何意义 定积分的几何意义是， 曲边梯形面积的代数和. 由此可知： ; ; , 等等。 (四) 定积分的值与积变量的记号无关， 即, 若 , 则 . 6-1-3 定积分基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。 性质一： 积分的线性性质: 若 , 则对于任意常数,有 ; 性质二：关于区间的可加性 若,,则,,并且 ; 证明： 只要保持是一个分点即可。 在定义中要求，但可以推广到的情形。 规定： 推论：这时对区间可加性可推广：设, , 性质三：积分的不等式性质 设,若,则 . 证明：直接来自极限的保不等式性质。 注意若 则反号了！ 推论1：设,, 若, 则 推论2：设但不恒为零,则, 则 . () 推论3：设,则,并且 . 证明：(1) 证, 要用到可积的充要条件，这将在微积分(II)中介绍。若有了的可积性这一结果, 则： (2).因为 性质四：(估值定理) 设,若,则 证明：, 取极限得：. 性质五：积分中值定理: 设,则存在,满足 . 证明： , , . 例2: 估计积分 的上下界。 解： 推论1： 在积分中值定理可得较好结果: 设,则存在,满足 证明：若有 , 否则与性质三的推论二矛