【线性系统课件】状态反馈解耦.pptVIP

* 定理4-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向量b，均存在一个状态反馈增益阵K1，使得(A+BK1 , b)可控。 证明 1,引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1,u2, …,un-1，使得由下式定义的n个向量x1,x2, …,xn线性无关。 x1=b, xk+1=Axk+Buk (k=1,2, … ,n-1) (S—1) 习题4-3的证明 用归纳法。k=1 x1=b 若存在 使 线性无关， 要证：存在 ，使 与 线性无关，即 不属于 ，此处 是所张成的空间。 状态反馈 所以 包含了 ， 用反证法。 均属于 ，特别的取 =0, 属于 。由于 ( ), 因为 ,所以 。又因为 中的任一向量 有 。 是A的不变子 且包含了B的值域, 空间， 这与 的维数为n相矛盾。 2,定义矩阵 (S—2) 映射为p维向量 将n维向量 是p×n矩阵 , 3,证明 可控 因为 线性无关，即 所以取K= K1+Lk，即可证明定理4-5。 A+BK1+bk=A+BK1+BLk= A+B(K1+Lk) 定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数共軛成对出现）。 证明 首先选取非零向量L，可得b=BL，由定理4-4可知存在K1，使(A+BK1 b)可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行向量k，使得A+BK1+bk 的特征值可任意配置， 由于 例题 1 系统方程为 试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。 解 取x1 =BL=b, 由 x1=b, xk+1=Axk+Buk (k=1,2, … ,n-1) 因为Ax1与x1线性无关，故取x2= Ax1,可得u1=[00]T。又因为A x2与x1 x2构成线性相关组，u2不能取 [00]T，可取u2=[-1 1]T，这样可得x3= Ax2+B u2= [2 0 2] T。由的计算式(S—2)可得 不难验证(A+BK1 b)可控。 例题2 系统方程为 欲使闭环系统(A+BK)具有特征值-2,-2,-1+j,-1-j，试确定状态反馈增益阵K。 解 取L=[1 0]T,x1=b1；取u1=[-10]T, 可得x2=[0100]T ；u2=[00] T , 可得x3=[1000] T ； 取u3=[01] T , 可得x4=[0001] T ；于是由 的计算式可得 显然，(A+BK1 ,b1)可控。令k=[k1 k2 k3 k4], 直接计算 它的特征式为 s4-(1+k3)s3+(k3-k2)s2+(k2-k1)s+k1-k4, 期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8, 比较上述两多项式的系数，可得 k1 = -37, k2= -21, k3= -7, k4= - 45 状态反馈阵可取为 在上面的做法中，在L和ui取定后，k就唯一的确定了。但L和ui是非唯一的，这一事实至少可以说明达到同样极点配置的K值有许多，K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域。 多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是“非线性方程”，说明如下：如将K阵的元素用待定系数kij表示，闭环的多项式可以写为 式中f i (K)表示某一个以K的元素kij为变量的非线性函数。如果将期望多项式表成 比较两式的系数，可知应有 上式在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般是非线性方程。定理4-4所提供的事实表明：当系统可控时，可以通过牺牲K的自由参数，可以使(S—3)简化为一组能解出的线性方程组。对例题2，也可以用求解上述方程来做，通过K中自由参数的适当选取，往往可以方便地求出需要的K阵。 (S—3) 例题3 对例题2中的系统，用直接求解(S—3)式的方法，计算达到极点配置的K阵。 解 因为这时 方案１：取k4=k5=k6=k7=0,