【线性系统课件】实现2-由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现.pptVIP

* 最小阶实现的问题的提法： 考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s)，将它展成 G(s)=G(∞)+H0s-1+H1s-2+… (3-62) 其中Hi(i=0，1，2，…)是q×p的常量矩阵，通常将Hi称为G(s)的马尔科夫参数矩阵。 是G(s)的一个实现，则根据定义有 G(s)=D+C(sI-A)-1B y=Cx+Du (3-63) 若线性时不变动态程方程 利用公式， 上式可展成 由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现 引理1 动态方程（3-63）是G(s)的一个实现，必要且只要 D=G(∞),Hi=CAiB (i=0，1，2，…) (3-65) 本引理可直接由比较（3-62）和（3-64）而得到。因为G(∞)直接给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理函数矩阵。 由矩阵序列{Hi}可定义矩阵Hij如下 G(s)=D+CBs—1+CABs-2+… (3—64) 根据引理1，最小实现问题可重述如下： 给定矩阵序列{Hi}，寻找一个三元组（A、B、C），使得Hi=CAiB，且（A、B、C）是可控且可观测的。 Hij称为由序列{Hi}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的马尔柯夫参数矩阵序列{Hi}所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 将G(s)展开成 3-66 因为已假定G(s)是严格正则的，故（3-66）式分子的最高幂次至多为r-1。合并（3-62）和（3-66），可得 R1sr-1+R2sr-2+…Rr=(sr+a1sr-1+…+ar)(H0s-1+H1s-2+…) 令s的同次幂系数相等，即有 写出Hij（i，jr）如下 H0=R1 Hr-1+a1Hr-2+…+ar-1H0=Rr Hr+i+a1Hr+i-1+…+arHi=0 H1+a1Ho=R2 (i=0，1，2，…)(3-67) (3-68) 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的，如上所述，它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的。更一般的问题，任意给定一个无穷矩阵列{Hi}，它可以实现的条件是否是由{Hi}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？ 根据（3-67）式 ，可知Hij，的秩是有限数，至少Hr r之后， （3-68）中的线性无关列不会再增加了。 定理3-14 无穷矩阵序列{Hi}是能实现的充分必要条件是存在整数，β、α、n，使得 证明 必要性。若{Hi}可实现，因此有最小实现，令（A、B、C）是它的最小实现，于是 Hi=CAiB (i=0，1，2，…) 因为（A、C）可观测，因此存在正整数β，使 这里n是矩阵A的维数。又因为（A、B）可控，所以也存在着整数α，使 rank[B AB … A α -1 B] = n 而根据定义 于是有 rankHβα=rankHβ+iα+j=n （i=1，2，…） 从这一证明过程可知，整数n即最小阶实现的维数，而且β、α分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。 充分性。通过构造出{Hi}的一最小阶实现的方法来证明。从亨克尔阵的定义可知其第i行第j+p列的元素与i+q行第j列的元素相同，运用这一性质和(3-69)式可得 rankHβα=rankHβ+i，α+j=n 设用Gα表示由Hβ α的前n个线性无关构成的子矩阵。用G表示由Hβ+1， α中低于G α q行的n行组成的子矩阵，即将Hβ α的前n个线性无关行下移q行，在Hβ+1， α中得到的子矩阵。然后由Hβ+1， α中确定面下列四个矩阵，这四个矩阵是唯一的。 H3 H4 H2 H2 H7 H1 H0 H1 H2 H3 H3 H3 H4 H4 H4 H5 H5 H5 H6 H6 1 2 3 4 5 6 Gα F F* H1α F1 Gα的前p列 F2 F* 根据F在Gα所占的列位。在 中选出的n×n阵，亦即F下移q行对应的方阵。 F 由Gα的前n个线性无关列构成的n×n阵。 下面证明（3-70）式所给的（A、B、C）是{Hi}的实现，并且（A、B）可控，（A、C）可观测。 F1 根据F在Gα中所占的列位在H1 α中选出的q×n阵。 F2 由Gα的前p列组成的n×p阵。 令 A=F*F-1，B=F2 C=F1F-1 (3-70) 定理的充分性证明过程给出了直接从亨克尔阵提取最小阶实现的方法。 计算法骤和例题 现根据定理3—14充分性的证明过程，将严格正则有理函数矩阵最小阶实现的计算