【线性系统课件】线性二次型最优控制问题.PPTVIP

5.7 线性二次型最优控制问题 一.最优控制问题的一般提法 (1)给出系统的状态方程 (2)给出控制量 的限制条件 (3)明确始端条件: 给定 ,固定始端的控制问题; 固定, 任意,自由始端的控制问题. (4)明确终端条件:类似于始端条件 (5)给出性能指标 任务:寻求一个最优控制 ,使系统的状态轨线 从初态 出发到达 ,且沿此轨线,性能指标最小,即 分类:对u(t)无约束-------泛函求极值问题,变分法 对u(t)有约束-------庞特里亚金极大值原理，动态规划 离散系统 本课程： 线性系统 LQ问题:二次型性能指标 求 使 二. 有限时间LQ调节问题 调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 使性能指标 为最小的输入，可由下面的状态反馈解给出 其中 P(t)为满足终端条件 的矩阵Riccati微分方程的正半定对称解阵 此时，性能指标J的最小值为 证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。 综上，有限调节时间LQ问题的综合步骤是： (1)A,B,P(tf)=S,Q,R代入Riccati非线性矩阵微分方程，解出增益矩阵P(t); (2)构造状态反馈 此时闭环状态方程为 注意： －－有限时间LQ调节问题的最优调节系统是状态反馈系统，反馈矩阵是唯一的。 －－对象系统虽然是定常的，但闭环系统却是时变的。 －－Riccati矩阵微分方程是非线性微分方程，难求解析解，可离散计算。 －－前述的定理也适用时变线性系统。 二.无限时间LQ调节问题的最优解 提法： 线性系统 性能指标 寻求最优控制，使初态转移到０，且Ｊ最小。 无限时间调节问题与有限时间调节问题提法上的区别： (1)此处对象为线性定常系统； (2)不考虑终端指标； (3)｛Ａ，Ｂ｝可控。 无限调节时间调节器可以看作是终端指标为０，终端时间趋于无穷，受控系统是定常可控的有限调节时间调节器问题。 Kalman指出，此时矩阵微分方程的解P(t),当 时，P(t)的极限存在且唯一，即 常阵Ｐ即为无限调节时间调节器的增益矩阵。 求解Ｐ的问题变为求解Riccati代数矩阵方程 的正定解。P正定（比较有限调节时间时P(t)半正定） 一旦求得P,即可得到 闭环系统为 仍保持为定常系统。 对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。 证明： 选取Lyapunov函数 如果Q正定放宽为Q半正定，则 ，只要{A,H}能观，则仍能保证闭环系统渐近稳定。 例 5.8状态重构问题和状态观测器 一. 状态重构问题 系统的实际状态不可得。 重构状态：构造一系统，利用原系统可直接量测的变量u和y作输入，产生输出 ,使 该人为构造的系统称为观测器。 状态观测器：全维，降维 函数观测器：重构状态的函数，如 二. 全维状态观测器 观测器的维数和受控系统的维数相同。 对象： 方法I：（本科已学过）要求{A，C}能观测。 构造和原系统相同的系统，在初值 时，通