【线性系统课件】实现--标量传递函数.pptVIP

* 一、标量传递函数 设给定有理函数 (3-34*) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分 所以只需讨论(3-34*)式中的严格真有理分式部分。 问题的提法是：给定严格真有理函数 实现 (3-34*) (3-34) 要求寻找 A,b,c，使得 (3-35*) 并且在所有满足(3-35*)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面讨论g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况 对(3-34)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c) a,可控标准形的最小阶实现 (3-42) 对可控标准形最小阶实现 (3-42)式，计算 (3-42) b,可观标准形的最小阶实现 (3-38) (3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观 的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的 (3-38) 就是(3-34)的最小阶动态方程实现。同样可以说明(3-38) 式是(3-34)的可观标准形的最小实现。 二、向量的情况 一个元素为多项式的矩阵，可以写成矩阵为系数的多项式。 (1) 行分母展开时,得可观标准形最小实现 (2) 列分母展开时,得可控标准形最小实现 注意：因为G(s)的诸元素已是既约形式，故行分母（列分母）的次数就是麦克米伦阶，所构造的实现一定是最小实现。这点和标量传函一样。 三、传递函数矩阵G(s) 可以将矩阵G(s)分成列(行)，每列(行)按列(行)分母展开。 以2列为例说明列展开时的做法,设第i列展开所得的可控形实现为A i ,b i ,C i ，可按以下方式形成A,B,C, 这一实现是可控的，并可计算出上述实现的传函阵为G(s) 同理，可以将G(s)分成行，每行按行分母展开。以2行为例说明行展开时的做法,设第i行展开所得的可观形实现为A i ,B i ,ci ，可按以下方式形成A,B,C, 这一实现是可观的，并可计算出上述实现的传函阵为G(s) 例题 给定有理函数阵为 试用行展开和列展开构造G(s)实现。 解 采用行展开方法，将G(s)写成 按(1-20)式,可得可观性实现如下 容易验证这一实现是可观的但不是可控的。直接计算可知δG(s)=3，而A阵的维数是4，由定理1-8可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以用定理1-5对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将G(s)写成 由(1-22)式可构成如下的实现 这是可控性实现，它也是可观的，因而是G(s)的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择列展开方法。这是因为各列分母次数之和为３，小于各行分母次数之和４。如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，可以利用可控性分解或可观性分解进一步降低系统的阶次。 例题 给定有理函数矩阵如下 求出Ｇ（ｓ）的最小阶动态方程实现。 解 各一阶子式的公分母显然是s3，而其一个二阶子式为,其分母为s4，因而其极点多项式为s4. (1)计算δG(s)=4 (2)行展开 构成可观性实现：(一定不可控) (3)进行可控分解, 可控性阵秩为4，可取前四列, 且作列变换，这样将使计算简便{1列减4列, 2列减去(1列乘2), 3列减2列, 3列加到1列, 3列乘-1}, 再补充一列(后一列是补充的)，使下列矩阵为非奇异阵，记为 (4)可得最小实现为 (5)验算, 可验证可控，可观且传递函数矩阵为 若q×p有理函数阵G(s)可表成下列形式 其中λi互不相同，Ri为q×p的常量矩阵。试证 解 做法一、设rankRi=ni , 将Ri进行满秩分解，即Ri=Ci×Bi, 其中Ci为q×ni阵，rankCi=ni ,Bi为ni×p阵，rankBi=ni,, 构成Ri/(s+λi)的最小阶实现为(Ai Bi Ci), 其中Ai是ni×ni的对角矩阵，对角元为-λi。 再用直和的方式构成： 3-18 *