【线性系统课件】微分方程解对初值的连续依赖性.pptVIP

* 1, 高为炳编著： 运动稳定性基础 高等教育出版社 1987 年5月 2, 黄琳： 稳定性理论 北京大学出版社 1992年7月 3, 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用 科学出版社 1980年 4, 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义 人民教育出版社 1978年5月 参考书 微分方程解对初值的连续依赖性 解 x(t) 是自变量t的函数，t0, x0变动时对应的解也随着变动，它应该是自变量t与初值t0,x0的函数, 可写为x(t, t0,x0) 。例如 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。 定理：若f(x,t) 在域内连续且局部满足Lipschitz条件，则E的解x(t, t0,x0)作为t, t0,x0的函数在它的存在范围内是连续的。即 ??0, ???0, 使得当 ‖ x (t0)-? (t0) ‖ ??时,有 ‖ x(t, t0,x(t0))- ? (t, t0, ?(t0)) ‖??, a≤t≤b , a≤ t0 ≤b 7-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 满足存在和唯一性条件。 考虑一般的时变、非线性、多变量系统，它的微分方程式如下 其中x为n维向量，F(t,x)为n维的函数向量。不失一般性，可以设 F(t,0)=0 (7-2) (7-1) 这时方程（7-1）有解x=0(满足x(t0)= 0) ，称为（7-1）的显然解或零解。 设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态x=0。若初始扰动为x(t0)= x0 ，显然在这个初始扰动作用下，方程（7-1）所决定的运动是下列初值问题 的解。将这个解表示为 从物理概念上看，（7-2）式表示系统的平衡状态，相应于状态空间中的座标原点。 根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0) 偏离x=0也可以任意小。现在要问这一性质是否对 [t0, +∞)均成立？ 定义7-1 对于任意的?＞0，都存在?(t0,?)?0，使得当‖x(t0) ‖＜ ?(t0,?)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? ?t≥ t0 成立。则称平衡状态x=0是（李雅普诺夫意义下）稳定的。 定义7-2 若定义7-1中的? =?(?) ，即?与t0无关，则称所定义的稳定为一致稳定。 ‖x(t0) -0‖ ‖x(t, t0, x0) -0‖＜ ? 定义7-1 李雅普诺夫意义下稳定 ? ? t t0 1,此处?随着? t0而变化 2,‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? ?t≥ t0 对于任意的?＞0，都存在?(t0,?)?0，使得当 ‖x(t0) ‖＜ ?(t0,?) 时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? ?t≥ t0成立。 初值变化充分小，解的变化( t≥ t0)可任意小(不是无变化) 定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在?(t0)?0 ，使得对任意的?＞0 ，存在T(?, t0, x0) ， 当‖x(t0) ‖＜ ?(t0) ，t ? t0 + T(?, t0, x0)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? 。 则称x=0为渐近稳定。 t0 ?(t0) ? t0 + T(?, t0, x0) 1,此处?(t0)是固定的一个范围，(不是任意小的) 2, ‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? t ? t0 + T(?, t0, x0) (a)x=0是稳定的, x在t ? t0的行为已决定 (b) 是t充分大时的性质, 定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在?(t0,)?0 ，使得对任意的?＞0 ，存在T(?, t0, x0) ，当‖x(t0) ‖＜ ?(t0) ，t ? t0 + T(?, t0, x0)时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ ? 。 则称x=0为渐近稳定。 定义7-4 若 (a)x=0是一致稳定的。 (b)存在?0 ?0 ，使得对任意的?＞0 ，存在T(?) ，当‖x(t0) ‖＜ ?0