【线性系统课件】输出反馈配置极点问题学习要求.pptVIP

* 1,了解问题的困难和正确理解已有结果 自由度少、非线性、非单值性 定理5-8 2,一些处理(线性)方法(工具、概念)和局限性 定理5-2至5-4及推论的作用 3,研究输出反馈的意义 (状态反馈、部分状态反馈、动态补偿器) 4,由此产生的一系列分支与结果 (由于它的挑战性，使得它像一只下蛋的老母鸡。) 输出反馈配置极点问题学习要求 研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别 K是p×q的常值矩阵，v为p维输入向量。 通常称（5-2）式为静态输出反馈控制律。 联合（5-1）式和（5-2）式，可以得到闭环系统的动态方程为 若给定线性时不变系统方程为 （5-1） 其中各符号意义同前。 如果我们取 u=Ky+v （5-2) 静态输出反馈的性质 §5-1 静态输出反馈和极点配置 B C A K 闭环系统的示意图如图 定理5-1 反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。 证明 根据等式 (5-4) =（A+BKC）x+Bv y= Cx （5-3） 由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s和K。均有 由此可见，系统（5-3）的可观测的充分必要条件是系统（5-1）可观测，这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。 如果系统（5-1）不可观测，由（5-5）可知，使得（5-5）右边矩阵降秩的那些s值也使（5-5）式左边矩阵降秩。这表明静态输出反馈不会改变系统的不可观测振型 从几何观点来看，（5-2）式的输出反馈不改变不可观测子空间。 （5-2）式的反馈律也不改变系统的可控性。事实上，可以把（5-3）中的KC看作是一种状态反馈的增益阵，显然这种特殊的状态反馈不改变系统的可控性。 第四章证明了一个可控的系统通过状态反馈可以任意移动它的极点，但是作为一种特殊的状态反馈的输出反馈一般不具有这一性质。 例5-1 二维系统动态方程为 取u=Ky+v，这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s2-K，无论K取何值，闭环系统的极点只能在复平面的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改变这个系统的极点。 （5-2）式的输出反馈控制律中的K阵与闭环极点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理论至今尚未解决的问题。 1, sI-A的Smith标准形只有一个非1的不变因子； 单输入系统 (A b)可控的充分必要条件是：A是循环的 且b是A的生成元。 3, 存在向量b(称为A的生成元), 使 线性无关。 循环矩阵 n×n方阵A称为循环的是指其最小多项式就是特征多项式。 等价说法有 2, A的若当形中一个特征值只有一个若当块； 用于极点配置问题中的几个定理 推论5-2 若（A、B）可控，A是循环矩阵，则存在向量b?ImB,使（A、b）可控。 这一推论可以通过反复用定理5—4而得到。它表明在（A、B、C）可控可观测的条件下，存在输出反馈增益阵H，可使闭环系统矩阵A+BHC是循环的。因此在讨论输出反馈问题时，我们总可认为系统矩阵是循环矩阵。 推论5-4 设（A、B、C）可控可观测，存在一个p×q矩阵H，使（A+BHC、B）可控，（A+BHC、C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最小多项式是n次。 例5-3 给定系统为（A、B、C）如下 可知（A+BHC、B）可控，（A+BHC、C）可观测，且A+BHC是循环矩阵，它的最小多项式为4次。 首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入多输出系统动态方程为 u=ky+v (5-12) 联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为 （5-11） （5-13） 用静态输出反馈配置极点 △0(s)= △c(s)= 设A和A+bKC特征方程式分别为△o(s)和△c(s)， 若（A、b）可控，可用一等价变换化为可控标准形，变换矩阵为P 这时闭环系统矩阵为 表示的第i列 若给定了所要求的闭环极点， 就确定了。极点配置问题就要选取 K，使得下式成立 (5-14) 或 (5-15) (5-15）是一个q个未知量，n个方程的方程组，而 ? 是 任意的n维向量，它由所期望的极点所决定。 方程（5-15）对任意的 ?有解，显然要求 是n×n可逆方阵，这