【线性系统课件】线性时不变系统的稳定性分析.pptVIP

* A, 线性时不变系统的稳定性分析 §7-2,7-3的部分内容 或用复数域表示 系统方程为 (A-1)的解 (A-1) (A-2) (A-3) 由(A-2)可见x (t),y (t)由四部分组成，因此稳定性分析要对这四部分进行，显然只有这四项都有界时系统才能正常工作。因此，对系统采用状态空间的描述方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和系统可控性、可观测性密切相关。 (A-1) 式中A阵的特征值称为模态，ni重特征值λ对应的运动形式可能有 ,它们均称为系统的运动模式。但对应于λ的这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于λ的几何结构。例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式： 一，运动模式及其收敛、发散、有界的条件 例题A-1 (3) Reλ=0, 分两种情况：若λ对应的若当块全是一阶块，这时λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当λ的几何重数小于代数重数，λ对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时, (1) Reλ 0，λ对应的所有运动模式收敛，即随着时间趋于无穷而趋于零。 (2) Reλ 0, λ对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散。 一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。只要将题A-1中的特征值2换为零，就可证实。 如果对动态方程(A-1)进行等价变换,不会改变运动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有界性，即等价变换不改变稳定性。 稳定性问题是A的特征值问题，但在(A-2)式中以 四项形式出现，也就是与B,C阵密切相关，即与系统的可控性、可观测性密切相关。 二，李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定 首先研究齐次方程 (A-4) 它的解为eA tx (0)，这是(A-2)式中的第一项 , 也是u=0时x (t)的表达式。当x(0)=0时，(A-4)有解：x=0，它称为(A-4)的零解。 定义 对任意的x(0) , 均有x(t)有界,则称(A-4)的零解是李雅普略夫意义下稳定的； 若对任意的x(0), 均有 ， 则称(A-4)的零解为渐近稳定。 说明：这里一个时间函数x(t) 称为有界的，是指 存在与 t无关的常数K，使得当t∈(0, ∞), 均有|x(t)| K成立。 定理A-1 对方程(A-4) 零解的稳定性有下列充分必要条件成立： (1)李雅普略夫意义下稳定 A的实部为零的特征值对应的若当块是一阶块，其余特征值均具有负实部； (2) 渐近稳定 A 的特征值均具有负实部； (3) 不稳定 A或有正实部特征值；或实部为零的特征值有非一阶若当块。 例题A-2 下面给出的三个系统矩阵Ａ，分别对应于稳定、渐近稳定、不稳定的情况。对于同属于不稳定情况的第三、四个矩阵，发散的情况有所不同，前者按t规律发散，后者按指数规律(e t ) 发散。 三,有界输入、有界状态（BIBS）稳定 本节研究(A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项。 定义 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS稳定。 若对任意的x(0), 及在任意有界输入u(t)作用下, 均有x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS 全稳定。 定理A-2 系统(A-1)BIBS稳定 系统(A-1)全体可控模式收敛. 系统(A-1)BIBS 全稳定 系统(A-1)全体可控模式 收敛. 全体不可控模式 无发散。 定理A-2 可以用可控性分解式来说明, 不妨假定，(A-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有 当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而 这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计及，故需加上| |有界的条件，而这个条件就是A4李氏稳定的条件。 从复数域的表达式(A-3)来看，BIBS稳定的条件就是 (sI-A)-1B的极点均具有负实部，因为不可控模均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。 李氏稳定条件加上了BIBS稳定条件就是BIBS全稳定的条件。