[计算方法课件试卷习题(机械专业大二)]计算方法第4章.pdfVIP

第四章插值方法 §4.0 引言 §4.1 多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6 三次样条插值 §4.7 曲线拟合的最小二乘法 引 言 1 插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重 要数值方法，它是用简单函数(特别是多项式或分 段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种 非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法： A 解析表达式 3 f (x) x −2x −5。(1865年，瓦里斯Walis ；1690年， Raphson拉夫逊；1669年，牛顿Newton ；历史悠久 的方程)。 x y −εsiny，(开普勒(Kepler)方程)。 y λcos(x / λ) 悬链线方程； 。 B 图像法 C 表格法 2 事实上，许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验 而得到的函数数据表格)，可是，从一个只提供离散的函 数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的甚至是不 可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形 式简单的插值函数(或近似函数)。 3 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不 适宜计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作， 因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能 进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有 限元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。 1 多项式插值问题的一般提法 1 插值法的概念 假设函数y=f (x)是[a, b]上的实值函数，x ,x ,…,x 是 0 1 n [a,b]上n+1个互异的点，f (x)在这些点上的取值分别 为y ,y ,…,y 。 0 1 n 求一个确定的函数P(x) ，使之满足： P(xi)=y i (i=0,1,2,…,n) (1) 称 x ,x ,…,x 为插值节点，关系式(1)称为插值原则, 0 1 n 函数P(x)称为函数y=f (x) 的插值函数，区间[a, b]称 为插值区间。 插值函数p (x)作为f (x) 的近似，可以选自不同类型的函 数，如p (x)为代数多项式、三角多项式、有理分式； 其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。 其中，代数多项式类的插值函数占有重要地位: (a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数 和积分也易确定，并且仍是多项式。 (b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的任 何连续函数f (x) ，存在代数多项式p (x)一致逼近f (x) ， 并达到所要求的精度.)。 因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。 2 例题分析： 已知函数f (x)有如下数据： x : 0 1 2 y : 0 1 1 y : 0 1 求f (x) 的插值多项式p(x) ，并求f(x) 在x=0.5处的近似 值。 2 3 4 解：设 P (x ) a +a x +a x +a x +a x ，其中， a ,a ,,a 为待