[计算方法课件试卷习题(机械专业大二)]计算方法第6章.pdfVIP

第六章 常微分方程数值解 §6.0 引言 §6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法 §6.3 单步法的收敛性和稳定性 §6.4 线性多步法 1 §6.0 引 言 1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解： ⎧dy f x , y ⎪⎪dx ( ) ⎨ ⎪y x y ( ) 0 0 ⎪⎩ 微分方程的解就是求一个函数 y = (x) ， 使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2 2 例如微分方程： xy ′- 2 y = 4 x 初始条件： y (1)=-3 于是可得一阶常微分方程的初始问题 ⎧ ′ 2y ⎪y +4 ⎨ x ⎪⎩y (1) −3 显然函数 y ( x ) = x 2 - 4x 满足以上条件, 因而是该初 始问题的微分方程的解。 3 3 但是，只有一些特殊类型的微分方程问题能 够得到用解析表达式表示的函数解，而大量 的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚 至无法用解析表达式来表示。因此，只能依 赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4 4 微分方程的数值解： 设微分方程问题的解y(x) 的存在区间是[a,b] ，初 始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点 x0 , x1 ,..., x ，其中a= x x … x =b。 n 0 1 n y(x) 的解析表达式不容易得到或根本无法得到， 我们用数值方法求得y(x) 在每个节点xk 的近似值 y(x ) ，即y ≈y(x ) ，这样y ,y ,...,y 称为微分方程的 k k 0 1 n 数值解。如图所示： a b x x x ... x x 0 1 2 n-1 n 5 1 欧拉公式 1.1 构造的思想： 微分方程初值问题： ⎧dy f x , y