[计算方法课件试卷习题(机械专业大二)]计算方法第3章.pdfVIP

§3 线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比（Jacobi ）迭代法 §3.2 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel ）迭代法 §3.3 超松驰迭代法 §3.6 高斯列元素消去法 §3.4 迭代法的收敛性 §3.7 三角分解法 §3.5 高斯消去法 §3.8 追赶法 §3.9 其它应用 §3.10 误差分析 1 前页 后页 返回 前页 后页 返回 前页 后页 返回 §3.0 引 言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算 中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电路分析、热传导 和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题。 分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 (a)直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能 在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss消 去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。计算代价 高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近 似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与 误差估计问题。简单实用,诱人。 2 前页 后页 返回 前页 后页 返回 前页 后页 返回 §3.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) 迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写 为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式： x (k +1) Bx (k ) + f 其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。 3 前页 后页 返回 前页 后页 返回 前页 后页 返回 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{Xk}是否收敛以及收敛条件? 4 前页 后页 返回 前页 后页 返回 前页 后页 返回 例题分析: 考虑解方程组 10x −x −2x 7.2 ⎧ 1 2 3 ⎪ x 10x 2x 8.3 (1) ⎨− + − 1 2 3 *