(3.10)--一维双原子链振动色散关系.ppt

一维双原子链的振动

一维双原子链图示及运动方程

一维复式格子（简单化模型）2n-22n-12n2n+12n+2晶格常数为2a质量为M的原子编号为2n-2、2n、2n+2、···；振幅为A质量为m的原子编号为2n-1、2n+1、2n+3、···；振幅为B

1受力方程：

运动方程的解（应用振幅非零解的条件）

2运动方程的解（原子不同导致：振幅不同，位相不同）

带入方程，得：A,B有非零解：解得：

格波色散关系

3格波的色散关系存在两种不同的格波的色散关系：光频支格波，即光学波声频支格波，即声学波

ωq0折合质量质量越轻，频率越高特殊点位

波矢的取值

由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：波矢q的取值),s(sNaq为整数π22=2Na为链的长度

波矢q的范围(共有N个值)一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。

一维单、双原子链的比较

q0ω最大ω最大ωωω0单原子链晶格常量为a双原子链晶格常量为2a注意取值范围、q的总数，的总数，相邻原子的振动特点以及格波的支数

一维单原子链，波矢q的数目为N个，的总数为N个一维双原子链，波矢q的数目为N个，的总数为2N个原胞数Nωω推广结论：三维情况下，q的数目永远等于原胞数——大N个，振动数等于自由度数3nN个

一维双原子链在长波极限有一支长光学波和一支长声学波，相邻原子的振动分别为反向和同向

4长声学波和长光学波对于声学波ω1，q→0时，ω1趋于0。当q很小时（长声学波）：线性关系

声学波m原子与M原子的振幅比为：

声学波m原子与M原子的振幅比为：即长声学波中，原胞中轻重两种原子的运动是完全一致的，振幅和相位都没有差别。可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。

光学波m原子与M原子的振幅比为：即长光学波中，原胞中轻重两种原子的振动方向相反

例2:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为?1，分子间两原子间的恢复力系数为?2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb?1?2解:只考虑最近邻原子间的相互作用，

将试探解代入方程得:

据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。0(+)-----光学支格波，A(-)-----声学支格波

q可取N个值。