常微分方程(第四版)A1课件(白底)7-1w.ppt

第七章一阶线性偏微分方程§7.1第七章一阶线性偏微分方程§7.1首次积分和求解常微分方程组基本概念一阶偏微分方程与常微分方程组的关系§7.2一阶线性偏微分方程的解法一阶齐次线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程*§7.3柯西问题*§7.1首次积分和求解常微分方程组基本概念一阶线性偏微分方程：齐次非齐次一阶拟线性偏微分方程：函数u=φ(x1,…,xn)称为偏微分方程的解，如u=φ(x1,…,xn)在空间的某域D内存在、连续且存在一阶偏导数，将u=φ(x1,…,xn)代入相应偏微分方程时变成在内的恒等式。u=φ(x1,…,xn)可视为在n+1维(x1,…,xn,u)空间的n维曲面，故解u=φ(x1,…,xn)亦称为偏微分方程的积分曲面。在域D内偏微分方程一切解的表示式称为通解。*例1例1考虑下列最简单的一阶齐次线性偏微分方程的解：解如令u=f(?),?=y-cx.f为任意可微函数，则ux=-cf’,uy=f’,代入方程变为恒等式。因此u=f(y-cx)为方程的解，其解称为行波解，以速度c向右传播而不改变形状。*例2例2考虑拟线性方程的解,其中g为已知函数。解设u=u(x,y)为方程的任一解，记v(x,y)=g(x,y,u(x,y))，则因知u,v之间存在函数关系，即因u任意,此即为方程的通解?.?为其变元的任意可微函数.当取g=uy-x时,拟线性方程变为uy+uux=0，其解为u=φ(uy-x)*特征方程定义齐次线性偏微分方程的特征方程为对应的写成对称形式的常微分方程组：拟线性偏微分方程的特征方程为*首次积分定义常微分方程初值问题其中fi在域G内满足解的存在唯一性条件。如存在G内连续、可微且不恒为常数的函数?(x,y1,…,yn)，当yi用方程(6)的解yi=yi(x),i=1,…,n代替时，?变为常数。则关系式?(x,y1,…,yn)=c(这里c为允许范围内的任意常数)称为方程组(6)的首次积分，有时亦称?(x,y1,…,yn)为首次积分。*首次积分彼此独立方程组(6)的n个首次积分?i(x,y1,…,yn)=ci,i=1,…,n称为彼此独立的，如雅可比行列式在G内恒不为零。对称形式的常微分方程组的n-1个首次积分φi(x1,…,xn)=ci,i=1,…,n-1称为彼此独立的，如矩阵的秩为n-1。*一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系n=1情形：设常微分方程的通解为y=φ(x,c)，解出c，得c=?(x,y)，此为方程的首次积分。以任解y(x)代入并微分之有即u=?(x,y)为一阶齐次线性偏微分方程的解。反之，设u=u(x,y)为方程(9)的解，以方程(8)的任一解y(x)代入并微分之得即u(x,y(x))=const表明u(x,y)=c是方程(8)的首次积分。*定理1总结为“u=u(x,y)为方程(9)的解的充要条件是u(x,y)=c是方程(8)的首次积分”。推广到n≥1情形：定理1?(x,y1,…,yn)=c是方程组(6)的首次积分的充要条件为在域内G成立等式*证由存在定理知对任一点方程(6)存在唯一解yi=φi(x),满足条件若?(x,y1,…,yn)=c为(6)的首次积分，则从而当x=x0有由的任意性知等式(10)在G内成立。反之，若等式(10)在G内成立。则对方程组(6)的解有或即为(6)的首次积分。定理证毕。*§7.3利用首次积分求解常微分方程组常微分方程组其中fi在域G内满足解的存在唯一性条件。定理2如果是方程组(11)的n个彼此独立的首次积分，则方程组(11)任一解均可通过适当选取一组常数ci而得到。*证依定义有由(12)可解出函数且dφi/dx存在、连续。显然从而(13)是方程组(11)的解。另因?j=cj(j=1,…,n)是(11)的首次积分，根据定理1，在G上有特别