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注:课堂安排整体上计划用时140分钟(学习120分钟,休息20分钟),若学生基础较差,则最后的生活中的优化问题暂时不给于指导,则前面五块内容共计划花时110分钟;若学生基础较好,则前面两块内容快速带过,直接进入导数的应用部分,计划用时120分钟。
例题解析和随堂练习加起来共17道题。
变化率与导数、导数的计算
【基础知识梳理】
1、函数y f x 从x1到x2的平均变化率
函数y f x 从x1到x2的平均变化率为,若,则平均变化率可表示为。
瞬时变化率就是对平均变化率求极限。
2、函数y f x 在x x0处导数
(1)定义
称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率
为y f x 在x x0处导数,记作 注:与的区别:
在对导数的概念进行理解时,特别要注意与是不一样的,代表函数在处的导数值,不一定为0;而是函数值的导数,而函数值是一个常量,其导数一定为0,即 0。
3、函数f x 的导函数
称函数为函数f x 的导函数,导函数有时也记作
注:求函数f x 在x x0处的导数的方法:
方法一:直接使用定义;;
方法二:先求导函数,再令x x0求
【课堂互动练习】
(一)利用导数的定义求函数的导数
1、相关链接
(1)根据导数的定义求函数在点处导数的方法:
①求函数的增量;
②求平均变化率;
③得导数,简记作:一差、二比、三极限。
(2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数。
2、例题解析
〖例1〗求函数y 的在x 1处的导数。
解析: 〖例2〗一质点运动的方程为。
求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;
求质点在t 1时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法)
分析(1)平均速度为;
(2)t 1时的瞬时速度即在t 1处的导数值。
解答:(1)∵
∴Δs 8-3 1+Δt 2- 8-3×12 -6Δt-3 Δt 2,
.
(2)定义法:质点在t 1时的瞬时速度
求导法:质点在t时刻的瞬时速度
,当t 1时,v -6×1 -6.
注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
【基础知识梳理】
4、基本初等函数的导数公式 5、导数运算法则 注:函数求导的原则:
对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误。
【课堂互动练习】
(二)导数的运算
1、相关链接
(1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:
①分析函数的结构和特征;
②选择恰当的求导法则和导数公式求导;
③整理得结果。
(2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
2、例题解析
〖例〗求下列函数的导数。 思路分析:本题考查导数的有关计算,借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数,可以容易求得.
解答: 1 方法一:由题可以先展开解析式然后
再求导:y 2x2-1 3x+1 6x3+2x2-3x-1,
∴y′ 6x3+2x2-3x-1 ′
6x3 ′+ 2x2 ′- 3x ′ 18x2+4x-3.
方法二:由题可以利用乘积的求导法则进行求导:
y′ 2x2-1 ′ 3x+1 + 2x2-1 3x+1 ′
4x 3x+1 +3 2x2-1 12x2+4x+6x2-3
18x2+4x-3.
2 根据题意把函数的解析式整理变形可得: 3 根据求导法则进行求导可得:
y′ 3xex ′- 2x ′+e′ 3x ′ex+3x ex ′- 2x ′ 3xln3·ex+3xex-2xln2 3e xln3e-2xln2
4 根据题意利用除法的求导法则进行求导可得: 规律总结:一般说来,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转化为和或差的形式.
误区警示: 1 运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则; 2 特别是商的求导法则,求导过程中符号判断不清,也是导致错误的原因. 【基础知识梳理】
(三)切线的求解
1、相关链接
(1)导数的几何意义
函数f x 在点x处的导数的几何意义是在曲线y f x 上点(,)处的切线的斜率。相应地,切线方程为y-y0 x x0 .
思考:曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线有何不同?
【思考·提示】 前者P为切点;后
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