同济六版高等数学下册9-.ppt

§3. 全 微 分 二、全微分存在的必要条件和充分条件 练习 设 多元函数连续、可导、可微的关系 思考. 讨论: 小 结 例5. 有一圆柱体受压后发生形变, 3. P129 题 7 可知当 *三、全微分在近似计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 例6.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 * 由一元函数微分学中增量与微分的关系: 得 一元函数的微分为： 24 全增量的概念 一、全微分的定义 定义 1、判断函数可微的方法。2、如果可微，那么A,B是什么？ 事实上 即 可微?连续 可微，可偏导，连续 得 证 总成立, 同理可得 y = f(x)在某点处： 可导 可微 z = f(x,y)在某点处： 可偏导 可微分 例如， 则 所以当 时 z = f(x,y)在某点处： 可偏导 可微分 证 即 偏导数连续 可微分 充分条件： （依偏导数的连续性） 同理 全微分的定义可推广到三元函数: 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这个事实称为二元函数的微分符合叠加原理． 习惯上把自变量的增量用微分表示,故 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 叠加原理也适用于n元函数的情况: 解 所求全微分 解 解: 利用轮换对称性 , 可得 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 解 所求全微分 证 则 同理 (1) (2) 不存在. (3) (4) 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可偏导 x y o M N . f (x) dy ?x ? 微分是函数的局部线性化 . 用切线增量近似曲线增量 dy dy = 在图上是哪条线段？ =tan? ?x 复习一元函数微分 即： . ?y 微分的几何意义 x z y 0 P Q M N ?x ? y A B dz=AB : 切面立标的增量 z= f (x ,y) ? z =AN ：曲面立标的增量 过点M的切平面： 即： dz ?z =AB+BN . dz =AB 用切面立标的增量近似曲面立标的增量 dz 全微分的几何意义 思考题 思考 讨论函数 在（0，0）点处的连续性、可导性和可微性. 解 解: 利用 故 f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处是否连续、是否可偏导 , 是否可微 . 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 的偏导函数在(0,0)不连续，但在该点可微。 作业 P75 1 (3) , (4) ; 3 １．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别） * * * *