同济六版高等数学下10-.ppt

* 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域D如图 * 区域D如图 * 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域D如图 * 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域D如图 * 此时若 f ≡1 则可求得D 的面积 * 为什么引用极坐标计算二重积分? 2 1 D 0 y x D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! D2 * 2 1 D 0 y x D: ? 计算 变换到极坐标系 D: r=1和 r =2围成 解 * 解 练习 * 2R 解 区域边界： x = 0 0 y x ? 在极坐标下 r=2Rsin? r =2Rsin? 例11 解 练习 * 解 * 解 x y O a 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 坐标计算. 注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, ① 故①式成立 . 又 * 解 设 * * x y z O 6 例14. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 * 解 * 解 思考题 思考 * 思考 设函数 * 作业 P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2) * 小 结 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ * 小 结 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分计算中注意使用对称性） * * * 如果积分区域为： 设函数 、 在区间 上连续. 一、直角坐标系下二重积分的计算 ［X－型］ X型区域的特点： 穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. §2.二重积分的计算法 * 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 注意不是两个积分的乘积. * 如果积分区域为： ［Y－型］ Y型区域的特点：穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. * 二重积分在直角坐标下的计算公式 (先y后x) (先x后y) ［X－型］ ［Y－型］ * 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 * 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 * 1 1 y = x2 0 y x D 2 先对 y 积分（从下到上） 1 画出区域 D 图形 3 先对 x 积分（从左到右） y = x 例1 计算 * 解 练习 * 0 y x 1 1 3 y = x x = y 2 D . . 例2： 解 * 练习. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 * 解 * 练习. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. * 解 积分区域如图 * 例5. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则 * 解 积分区域如图 练习 * 解 0 y x 2a 2a a D: 0 ? x ? 2a D1 D2 D3 还有别的方法吗？ * 0 y x 2a 2a a D: 解 0 ? x ? 2a D1 D2 将积分换序 . 注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义以至连续 * 解 * O 解 * 解 曲面围成的立体如图. x y 例9 * 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 对称性 性质 x y O D1 D 右 x y O D1 D 在第一象限部分, 则有 解 （1）先画出积分区域的图形 x y 1 -1 1 O D 0 x y -1 1 1 0 * 利用对称性化简二重积分 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性； ２、被积函数在积分区域上关于变量x，y