同济六版高等数学下10-习题课.ppt

* 思考题 练习: 例7 练习: 例8 例9 * 例10 练习 设 由曲面 围成，计算 * 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 线 例11 * ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 思考题 * 侧面方程: 提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) * 由题意知 令 得 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时. * 思考题 前一页 后一页 返 回 * 重积分习题课 一、主要内容 定 义 几何意义 性 质 计算法 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 三重积分 * 1、二重积分的定义 * ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． * 性质１ 当 为常数时， 性质２ ３、二重积分的性质 * 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积 性质５ 若在D上， 特殊地 * 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） * 二重积分在直角坐标下的计算公式 (先y后x) (先x后y) ［X－型］ ［Y－型］ * （２）极坐标系下　 区域D如图 * 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域D如图 * 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域D如图 * 5、三重积分的定义 * 6、三重积分的几何意义 7、三重积分的性质 类似于二重积分的性质． * 8、三重积分的计算 (１) 直角坐标 先一后二 先二后一 * * x 0 z y c1 c2 z ? Dz 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） 先做二重积分，后做定积分 * x 0 z y c1 c2 ? . 先做二重积分，后做定积分 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） z Dz * x 0 z y c1 c2 ? I = . 先做二重积分，后做定积分 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） z Dz * x 0 z y c1 c2 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用） . ? 先做二重积分，后做定积分 I = * (２) 柱面坐标 * (３) 球面坐标 * 相关的知识点 1、强调积分是一个数值，只和被积函数和积分区域有关，与积分变量的记法无关. 2、对于二重积分： （1）根据被积函数和积分区域选择合适的坐标系（直角坐标，极坐标）.先作出图形，若积分区域为扇形或圆、圆环，最好用极坐标；若被积函数用直角坐标积分积不出，例如 ，试选择极坐标.( 注意积分次序.) ? * 为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D 0 y x D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! * (2)在直角坐标系中，先作出图形，然后根据被积函数、积分区域选择合适的积分次序，选择时首先要保证被积函数能积出，其次使积分区域尽量简单. （4）充分利用对称性来化简积分. (3)含有绝对值号的，含有max{},min{}的， 根据图形划分区域去掉绝对值号. 3、对于三重积分： （1）充分利用对称性来化简积分. * (2) 选择合适的积分区域： 一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆或者扇形域,被积函数含有式子x2+y2时,用柱坐标计算比较简单(x2+y2=r2).注意投影的区域尽可能的简单. * 其余的可考虑选用直角坐标系.直角坐标系中还有先一后二、先二后一（截面法）方法，注意截面法所要求的条件. 若 的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有 的因子，则以选用球面坐标系. * 例1 练习. 计算二重积分 在第一象限部分. 其中D 为圆域 例2 * 计算 例3 * 例4 练习: 练习 积分 可化为定积分 例5 前一页 后一页 返 回