同济六版高等数学第六章第二节课件.pptVIP

§6.2 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 作业 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 上页 下页 铃 结束 返回 首页 [f上(x)? f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 下页 讨论： 由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy, 下页 例1 计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间: (4)计算积分 [0, 1]; (1)画图; 下页 例2 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间: (4)计算积分 (3)确定左右曲线: [-2, 4]. 解 (1)画图; 下页 例3 因为椭圆的参数方程为 x?acost, y?bsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 于是 ydx, 椭圆在第一象限部分的面积元素为 下页 曲边扇形 曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线???(?)及射线???, ???所围成的图形. 曲边扇形的面积 2.极坐标情形 下页 例4 计算阿基米德螺线??a? (a0)上相应于?从0变到2? 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 例5 计算心形线??a(1?cos?)(a0)所 围成的图形的面积. 解 首页 曲边扇形的面积： 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 下页 1.旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线y?f(x)、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 下页 二、体积 1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 旋转体的体积 于是体积元素为 dV??[f(x)]2dx. 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 旋转体的体积： 解 下页 解 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 旋转椭球体的体积为 下页 旋转体的体积： 例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的 旋转体(旋转椭球体)的体积. 例8 计算由摆线x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 下页 例8 计算由摆线x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 下页 设曲线左半边为x=x1(y), 右半边为x=x2(y). 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 ?6? 3a3 . 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为 下页 2.平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)dx. A(x) 截面面积为A(x)的立体体积： 例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角?. 计算这平面截圆柱所得立体的体积