1958年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案.docVIP

1958年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．甲、求二项式展开式中的系数 解：设求的项为 乙、求证 证： 丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D为AB的中点，E为AC的中点，作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN A D E M N B C 证：联结AD与AE（如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA， ∠ANM=∠EAN+∠NEA， 又∵AD=DB，∠DAB=∠AED， AE=EC，∠ADE=∠EAC， ∴∠AMN=∠ANM， AM=AN. 丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直 D C A E B 证：因ABCD是正四面体， 各个面都是等边三角形， 过A作AE⊥BC，联结DE， 则DE⊥BC， ∴BC垂直平面AED， 而AD在此平面内， ∴BC⊥AD 同理可证AB⊥DC，AC⊥DB 戊、求解 解： 2．解方程组 则原方程变形为 解方程组，可得 将的值代回所设，可得 都是原方程组的解 3．设有二同心圆，半径为R，r(Rr），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A＇，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D;由A＇作直线A＇E垂直AD，并交AD于E，已知∠OAD= α，求OE的长 解：在直角△OAD中， OD=Rsinα，AD=Rcosα 在直角△A＇AE中， A A＇E B O D C AE=（R-r）cosα ∴DE=AD-AE =Rcosα-（R-r）cosα=rcosα. OE= 4．已知三角形ABC，求作圆经过A及AB中点M，并与BC直线相切 已知：M为△ABC的AB的中点. 求作：一个经过A、M两点且与BC直线相切的圆. C P O A B M P＇ A＇ B＇ M＇ 分析：设⊙O即为合于要求的圆（如图）因⊙O经过A、M两点且与直线BC相切于点P，这样，BP为⊙O的切线，BA为⊙O的割线，所以，应有 BP2=BM·BA 而BM，BA均为已知，因此，BP的长度可以作出，由此可得点P，于是过A、M、P三点就可确定所求之圆 作法：1）作线段A＇B＇M＇， 使A＇B＇=AB，B＇M＇=BM 2）以A＇M＇为直径作半圆 3）过B＇作A＇M＇的垂线B＇P＇交半圆于点P＇ 4）在△ABC的边BC上截取BP=B＇P＇ 5）经过A、M、P三点作⊙O即为所求 证明：由作图可知B＇P＇2= A＇B＇·B＇M＇，A＇B＇=AB， B＇M＇=BM，所以BP2=BM·BA，即BP为⊙O的切线，BMA为其割线，且⊙O经过A、M、P三点，故⊙O适合所要求的条件 5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根 证：设AD=k（如图） C