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1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案.doc
1955年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1.甲、以二次方程x2-3x-1=0的两根的平方为两根,作一个二次方程
解:设原方程的两根为α,β,则由根与系数关系可得:
α+β=3,αβ=-1,
又,α2 +β2 =(α+β)2-2αβ=11,
α2β2 =1,
故所求的二次方程为 x2-11x +1=0
A
B D C
乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦
解:设AB=AC=4BC,而AD为底边上的高,
于是
S
D C
O
A B
丙、已知正四棱锥底边的长为,侧棱与底面的交角为450,求这棱锥的高
解:设S-ABCD为正四棱锥,SO为它的高,
底边长为,∠SAO=450∵AO=
∴由△SOA为等腰直角三角形,
故棱锥S-ABCD的高SO=
丁、写出二面角的平面角的定义
略
2.求b,c,d的值,使多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件:(1)被x-1整除,(2)被x-3除时余2,
(3)被x+2除时与被x-2除时的余数相等
解:根据余数定理及题设条件可得
f(1)=1+b+c+d =0…………………………………①
f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………②
-8+4b-2c+d= 8+4b+2c+d…………………………③
化简③式可得 c=-4将其分别代入①②可得
b+d=3
9b+d=-13 解得b=-2,d=5.
综上,b=-2,c=-4,d=5
F
C
G
D
A E B
3.由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E,交股的延长线于F,交外接圆于G求证:EG为EA和EB的比例中项,又为ED和EF的比例中项
证:连接GA、GB,则△AGB也是一个直角三角形因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高,所以,EG为EA和EB的比例中项,即EG2=EA·EB
∵∠AFE=∠ABC,∴直角△AEF∽直角△DEB,
但是∵EG2=EA·EB,∴EG2=ED·EF(等量代换).
故 EG也是ED和EF的比例中项
4.解方程,求x的通值
解:,
5.一个三角形三边长成等差数列,其周长为12尺,面积为6平方尺,求证这个三角形为一个直角三角形
证:可设其长分别为x-d,x,x+d.
因为三角形的周长为12尺,
∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4(尺)
于是该三角形的三边又可表示为
4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6,三边长为4-d,4,4+d,
由此可知,该三角形三边的长为3、4、5(或5、4、3)(尺),故它是一个直角三角形
高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞
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