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1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案.doc
1957年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1.甲、化简
解:原式=
乙、求适合不等式的实数x的范围
解:原式为解为:-2x1.
故x的范围为-2x1.
丙、求证
证:
A
S
P
D
R
C B
Q
丁、在四面体ABCD中,AC=BD,P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点,求证:PQRS为一个菱形
证:由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点,根据三角形两边中点连线的性质可得
而由题设,AC=BD,
∴PQ=QR=RS=SP,
故 PQRS为一个菱形
M E
B A
D
C
N F
戊、设为异面直线,EF为的公垂线,为过EF的中点且与平行的平面,M为上任一点,N为上任一点求证线段MN被平面二等分
证:过直线作平面//(如图)
过直线及公垂线EF作一平面,在此平面内作MC∥EF,且与平面,分别交于B、C两点
设EF、MN分别与平面交于点A、D
∵点A是EF的中点,
又ME∥BA∥CF,
∴点B是MC的中点
又∵DB∥NC,
∴D是MN的中点
另法:如图,连接EN,AB,BD
由
由A是EF的中点得,D为MN的中点
此即线段MN被平面二等分
2.解方程组
解:由(1)可得
由(2)可得
将(4)代入(3)可得
再将(5)代入(4)可得
化简,得
将x值代入(5)
此即
因为所以(1)式无意义(负数无对数),故原方程组的解仅为
3.设△ABC的内切圆半径为r,求证BC边上的高
A
E
O
B C
D
证:在直角△ABC中,
另外,
4.设△ABC为锐角三角形,以BC为直径作圆,并从A作此圆的切线AD与圆切于D点,由在AB边上取AE=AD,并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F,求证:
(1)AE:AB=AC:AF.
(2)△ABC的面积=△AEF的面积.
证(1):设AB与⊙O相交于点G,联结EC,CG,BF.
A
G
E D
B G
O
F
∵EF⊥AB,CG⊥AB,∴GC∥EF,
AC:AF=AG:AE………………①
又∵AD是⊙O的切线,
∴AD2=AG·AB,
也即AG:AD=AD:AB
但∵AD=AE,
∴AG:AE=AE:AB……………②
由①、②可得
AE:AB=AC:AF
证(2):由(1)AE:AB=AC:AF,则EC∥BF,
△EBC的面积=△EFC的面积
∴△ABC的面积=△AEC的面积+△EBC的面积
=△AEC的面积+△EFC的面积
=△AEF的面积
5.求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值
解:将x=1代入这个方程式,
则,
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