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高考数学

与面积计算有关的优质高考真题汇编

一.基本原理

直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：

1.一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式.

进一步，==

2.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.

3.坐标法.设，则.

4.面积比的转化.

三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：

①两个三角形同底，凌晨讲数学则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比

②两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）

③利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比

④面积的割补和转化

5.四边形的面积计算

在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.

二．真题汇编

例1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点.

（1）求C的离心率;

（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．

解析：（1）由题意得，解得，所以.

（2），则直线的方程为，即，

，由（1）知，设点到直线的距离为，则，设，则，解得或，

即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，

综上直线的方程为或.

例2.(2022新高考全国I卷·第21题)已知点在双曲线上，

直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l斜率；

(2)若，求的面积．

解析：（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．易知直线l的斜率存在，设，，

联立可得，，所以，，且．所以由可得，，

即，即，

所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．

（2）设直线AP的倾斜角为，，由，得，

由，得，即，联立，及得，，同理，，，故，

而，，由，得，

故

例3.（2013年湖北省理科数学）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到凌晨讲数学小依次为，，，。记，和的面积分别为和.

（1）当直线与轴重合时，若，求的值；

（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。

第21题图

第21题图

解析：（1），，解得：（舍去小于1的根）

（2）设椭圆，，直线：

，同理可得，

又和的的高相等，，如果存在非零实数使得，则有，即：，解得，当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线.

例4.（2015年湖北省理科数学）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

解析（1）设点，，依题意，，且，

所以，且即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即①，又由可得

；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得

②，将①代入②得，

.当时，；

当时，.因，则，

，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综上可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

例5.（2014年湖南卷理科数学）如图，为坐标原点，椭圆:（ab0）的

左、右焦点分别为，，离心率为：双曲线：的左、右焦点分别为，

，离心率为.已知=，且.凌晨讲数学

（1）求、的的方程；

（2）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，

求四边形APBQ面积的最小值

解析：（1）因为，所以，即，因此，从而，于是，所以

故的方程分别为

（2）因为不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为，

由得，易知此方程的判别式大于0，设

，则是上述方程的两个实根，所以

，因此，于是的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即

由得，所以，且

，从而

设点到直线的距离为