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高考数学

极点极线快速入门与应用

七大微专题

一．基本原理

1.从椭圆标准方程到极点极线

椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：

①

将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：

②

对②式继续平方，再整理可得：

③

由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.

这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.

定位到②式，⑤.

⑤式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.

其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是

；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是.双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.

进一步，已知圆锥曲线，则称点和直线

是圆锥曲线的一对极点与极线.

根据极点极线的代数定义我们可以知道，对于椭圆，与点对应的极线方程为.特别地，点对应的极线方程为：，即右焦点所对应的极线方程为右准线.同理，可得双曲线与抛物线的极点与极线方程，这里用表格形式给出相关结论.

曲线类型

极点

极线

结论2.从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点.

结论3.极点与极线作法：

（1）如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线．

（2）若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线．由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线．称为自极三点形．若连接交圆锥曲线于点，则恰为圆锥曲线的两条切线．事实上，下图给出了两切线交点对应的极线的一种作法．

P

P

E

F

G

H

M

A

N

B

二．典例分析

例1.（2020全国1卷）

已知分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交点为.

（1）求的方程；

（2）证明：直线过定点.

解析：（1）的方程为.

（2）解法1：（设线法）由（1）知，，设，则直线的方程是，

联立，

由韦达定理，代入直线的方程为得：

，即，，直线的方程是，

联立方程，

由韦达定理，代入直线的方程为得

，即，，直线的斜率，直线的方程是，整理得：，故直线过定点，．

解法2.（设点法）假设.则由及三点共线可得：

将上面两式相除，再平方可得：①，由于均在椭圆上，故满足：②，将②代入①可得：，整理可得：③，假设直线的方程为代入椭圆方程

得：将代入③中，可得：，于是，直线的方程为，故其过定点.

例2．（2023年新高考2卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

（1）求的方程；

（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上.

解析：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，

则由可得，，双曲线方程为.

（2）

由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

??

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：

，由可得，即，

据此可得点在定直线上运动.

2.调和线束的斜率形式及应用

1.基本结论

若四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点，所形成的的四条射线，，，，称为调和线束.对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.

结论[1]:如图1.若调和线束，，，的方程为.

那么.

图1图2

2.基本应用

此处，我们选择比较经典的两个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述结论应用的范例.

例1.（2024年甲卷解析几何）

设椭圆的右焦点为，点在上，且轴.

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点.证明:轴.

解析：如图2，椭圆的方程为：，那么点关于该椭圆的极线方程为，所以点P，R，A，B为调和点列，于是为调和线束.

设的斜率分别为，根据调和线束的斜率公式，有

，

由于①.

设点，而，而，代入①式可得，故轴.

例2.（2022年全国乙卷）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.

（1）求的方程；

（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．

分析：如图，计算定点关于椭圆的极线，恰好就是直线，于是，为调和点列，则为调和线束，设的斜率为：.其中.故由调和线束的斜率公式可得.在分析得结果之后，解题时我们就可以直接去找的值，这个利用题干信息完全可以解决，然后我们利用齐次化方法解决该问题.

首先有斜率关系：

设，将椭圆改写成

，展开可得

代入齐次化可