高考数学备考专题 焦点弦为直径的圆和准线的位置关系.docxVIP

高考数学

以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系

一．基本原理

1.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

分析：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：

由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，,故圆心M到准线的距离等于半径，

∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为,（e为离心率）

圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离,双曲线e＞1，可得d＜r，相交．

2.一般地，设圆锥曲线的焦点F，过焦点的弦为PQ，以PQ为直径的圆与相应于F的准线相切于N，连接MN，过，分别作的垂线，垂足分别为，，

根据圆锥曲线的第二定义可得：，于是可得：

显然，当时，椭圆中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相离（左边类似，当时，抛物线中以过焦点的焦点弦为直径的圆和准线相切，时，双曲线中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相交（左边类似）.

二．典例分析

例1.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．

A．

B．

C．以MN为直径的圆与l相切

D．为等腰三角形

解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.

B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.

C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.

D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，

所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

??

例2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得．，故．

所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为

，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得或，因此所求圆的方程为

或．