高考数学备考专题 斜率和积差商与圆锥曲线.docxVIP

高考数学

与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用

一．基本原理

1预备结论：在平面直角坐标系中，二元二次方程

满足以下条件时，其图像为双曲线.

（1）系数矩阵满秩，即，（2）.

2.本节核心结论：

设动点，为两定点（原点除外），，则有：

（1），根据上述结论，为双曲线

（2），为抛物线

，即，当时，为圆，时，为双曲线，且时，为椭圆.

，当时，

为一条直线.

二．典例分析

例1．点A，B的坐标分别是直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是则点M的轨迹是（???）

A．有一个间断点的直线 B．圆

C．椭圆 D．抛物线

解析：设点M的坐标为则点A，B的坐标分别是直线AM与BM的斜率的商是可得即．

则点M的轨迹是有一个间断点的直线．故选：A

例2．与点和点连线的斜率之和为的动点P的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

解析：设动点，，，整理得.

故选：B

例3．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（????）

A．

B．

C．

D．

解析：设，则，整理得，所以动点的轨迹方程是.故选：A.

例4．已知函数，则下列说法中不正确的是（????）

A．为奇函数

B．在其定义域内为增函数

C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值

D．曲线的切线的斜率的最大值为2

解析：A.函数的定义域是，

，所以函数是奇函数，故A正确；

B.设，且，，因为，所以，因为，，所以，则，即，

即，所以，即，所以函数在定义域内是增函数，故B正确；

C.设函数上任一点，，，故C正确；

D.，，根据导数的几何意义可知，曲线y=fx的切线的斜率的范围是，故D错误.故选：D

例5．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（????）

A．当时，点的轨迹是双曲线.

B．当时，点在圆上运动.

C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.

D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.

解析：设，则，所以，，整理得，

所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；

对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；

对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；

对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD

例6．设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（????）

A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分

B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分

C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分

D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分

解析：设Mx,y，则，当时，即，

有，故A正确；

当时，有，故B正确；当时，，

即，故C正确；

当时，，即显然不是椭圆，故D错误.

故选：ABC

例7．在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为__________.

解析：设，则，，所以，即，

即动点的轨迹方程为，，所以，所以当时.

故答案为：

三．习题演练

1．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（????）

A．点的轨迹关于轴对称

B．点的轨迹关于原点对称

C．若且，则恒成立

D．若且，则恒成立

2．已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（????）

A．曲线关于原点对称

B．的范围是的范围是

C．曲线与直线无限接近，但永不相交

D．曲线上两动点，其中，则

3．设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（????）

A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点）

B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）

C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）

D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点）

4．已知点，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为1，过M作圆C：的切线MP，P为切点，则的最小值为______.

参考答案

1.解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点Mx,y的轨迹方程为：.

如上作出函数的图象，由图易得A错误；

对于B，由，可得，

即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；

对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确；

对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC.

2.解析：设Mx,y，由题意，即，化简得，

即且，

对于A，将代入得，即，所以曲线