高考数学备考专题 命制新概念压轴题目的五个视角.docxVIP

高考数学

命制新概念压轴的五个视角

一．基本原理

1．新概念导向的压轴

2．新运算为导向的压轴

3．新性质为导向的压轴

4．新背景为导向的压轴

5．新公式为导向的压轴

6.具体表现形式：

1．新概念导向的压轴

概念是数学的核心之一，一个概念的产生往往需要经历一个完整的探究过程，教材上案例比比皆是.17分的综合压轴由于是考试，可能不会侧重于概念的探究，而是转为给出相关概念，利用有关概念（定义）来解决问题，这就涉及到将抽象问题具体化，从一般到特殊.考察学生的数学抽象素养和完整的数学表达能力.于是，备考时，一定要侧重对概念的理解，这一方面要求我们在高一高二新课讲解过程中不应该只顾“捞干货”，忽视概念的引入，生成等环节.另一方面，在高三复习中，遇到相关题目讲解时，注意耐心感受概念的形式，必要时候，完全可以通过简单的枚举，找特例来理解概念的具体含义，最后就是特别注意相关的表达与应用.

2．新运算导向的压轴

运算是数学的灵魂，相关题目以符号，新运算为背景，就是要考察运算素养和完整的数学表达，新课标指出，数学运算素养包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，设计运算程序，求得运算结果等.

3．新性质为导向的压轴

新性质问题综合了前面两个的一些特色，然后让我们判断题干所给的问题是否满足相关性质，完整的解答过程涉及到理解性质，准确运算和完整表达，对学生的各方面能用要求都很高.

4．新背景为导向的压轴

这种背景主要指的是高观点或者依托于教材的背景性资料，有的问题可能纯属背景建构，高中内容解决，有的问题则可能需要对材料中的新背景做分析整理，数学抽象，并在解题中利用相关内容解决，有的则需要你掌握很多的知识.

5．新公式为导向的压轴

新公式为导向结合了运算素养，需要准备的理解公式与运算形式，代入公式以后求得相关问题，理解公式是关键，完整表达是重点.

综上，新情境压轴虽然没有满满的“套路”可循，但也并非没有一点规律，一方面要求我们在高一，高二教学中尽可能回归学的本质，注重情境和探究，减少以前课堂形式的“捞干货，讲例题，模仿练习”的形式，另外，高三备考中也要注意总结，刚开始做慢一点，这类题目的通法就是具体问题具体分析，所以，先慢一点，注重我刚才上面分析的方式方法，积累信心，尽可能多拿分！

二．典例分析

1．新概念导向的压轴

例1．（2021年教育部八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．

??

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．

解析：（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.

??

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：.

（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有设第个面的棱数为，所以所以总曲率为：

所以这类多面体的总曲率是常数.

2．新运算导向的压轴

例2.（2023年教育部四省联考）椭圆曲线加密算法运用于区块链．

椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且．

（1）当时，讨论函数零点的个数；

（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：；

（3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标．

参考公式：

解析：（1）由题设可知，有，若，则，则，此时仅有一个零点；若，令，解得．当或时，，当时，，故在，上为单调递增；在上单调递减.因为，若，则，此时，而故此时有2个零点；若，则，

此时，而

故此时有2个零点；综上，当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．当，有，则有1个零点．

（2）因为为C在点P处的切线，且，所以，故，故，因为“”运算满足交换律、结合律，

故，故.

（3）直线的斜率，设与C的第三个交点为，

则，代入得，

而，故，

整理得到：，

故即，

同理可得，两式相减得：，故，

所以，故，故，

所以，因此的坐标为：

．

3．新性质为导向的压轴

例3．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：

①；

②对任意，存在，使得，则称为数表．

（1）判