1.6 线段的垂直平分线的性质 教学设计 2025--2026学年浙教版八年级数学上册.docxVIP

教学设计

课程基本信息

学科

初中数学

年级

八年级

学期

秋季

课题

1.6线段垂直平分线的性质

教学目标

1.结合实例感知线段的垂直平分线,理解线段垂直平分线的概念，发展抽象能力。

2.通过观察、测量、实验、归纳推理等,探索线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,发展几何直观和推理能力。

3.能用尺规作一条线段的垂直平分线、过直线外一点作这条直线的垂线,并理解其作图原理与方法,发展空间观念和推理能力。

4.能运用线段垂直平分线的性质定理解决简单的几何问题,发展推理能力和应用意识。

教学重难点

教学重点：线段垂直平分线的性质定理。

教学难点：线段垂直平分线尺规作法正确性的证明。

教学过程

环节一：创设情境·提出问题

问题一观察弩箭发射装置图（图示弓弦AB、AC与箭AD），

思考：弓弦AB与AC有何关系？箭AD与弦BC有何关系？（AB=AC，AD⊥BC，AD=BC）

追问：能否从数学的角度解释这种结构的合理性？（对称性、力学稳定性）

师生活动：引导学生从实物中抽象出几何图形，发现AD既垂直于BC又平分BC，从而引出“垂直平分线”的定义。

设计意图：从生活实例出发，激发兴趣，渗透数学建模思想，自然引出定义。

环节二：定义辨析·明确内涵

问题二类比全等三角形的研究路径（背景—定义—表示—性质—判定—应用），接下来应如何展开对线段垂直平分线的研究？

师生活动：引导学生回顾几何图形研究的一般路径，共同明确本节课的研究思路：在明确定义后，下一步将用几何语言表示定义及探索性质。

设计意图：从宏观上建立研究框架，培养学生“先见森林，再见树木”的整体思维和科学的研究方法。

思考：根据定义作出线段AB的垂直平分线，并用几何语言描述这个定义。

师生活动：学生动手画图，教师板书规范图形和几何语言：

∵直线l⊥AB，且垂足O是AB的中点（即OA=OB），

∴直线l是线段AB的垂直平分线（中垂线）。

设计意图：将文字语言转化为图形语言和符号语言，强化对定义的理解，为后续辨析、证明和应用打下基础。

环节三：观察猜想·证明性质

问题三在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A、B的距离。你发现了什么？

【猜想】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

追问：如何证明这个猜想对任意一点都成立？

师生活动：引导学生明确证明方向：要证明一个图形上所有点都具有某性质，只需在图形上任取一点，证明该点具有此性质即可。因此，我们在直线l上任意取一点C。

思考：点C是直线l上的任意一点，那么点C与线段AB的中点O可能存在哪几种位置关系？

师生活动：引导学生思考并回答：点C可能与点O重合，也可能与点O不重合。教师板书并画出两种情况的示意图：情况一：点C与点O重合，情况二：点C与点O不重合。

追问：我们能否对这两种情况分别进行证明？

想一想：要证明CA=CB，我们可以将其转化为证明什么？（证明两个三角形全等）哪两个三角形？如何构造？图中已经有哪些条件？

师生活动：学生分组讨论或独立完成两种情况的证明，教师巡视指导。

∵O是AB的中点，∴CA=CB，显然成立。

当点C与点O不重合时，∵l⊥AB∴∠COA=∠COB=90°

∵O是AB的中点∴OA=OB，

∴△AOC≌△BOC（SAS）∴CA=CB。

设计意图：渗透“从特殊到一般”和“用任意点代表所有点”的数学证明思想，自然引出分类讨论的必要性，培养学生全面思考问题的习惯。将证明过程分解，化难为易，情况一的“显然成立”不容忽视，体现了数学的严谨，情况二引导学生自主构造全等三角形，巩固已学知识，提升推理能力。

问题四我们是否已经完整地证明了我们的猜想？为什么？

师生活动：教师引导学生回顾两种情况，并总结：由于点C是直线l上任意一点，且我们讨论了所有可能的位置关系（重合或不重合），都得到了CA=CB的结论，因此定理得证。

师生共同归纳线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

思考：将刚才证明的定理，用图形、文字和几何符号三种语言表示出来。

师生活动：学生表述，教师板书，完成知识的三维表征：

文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。图形语言：（保留之前的作图）

符号语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB。

想一想：以上性质定理的获得，我们经历了怎样的学习过程？

我的收获：我们经历了“观察—实验—猜想—证明—表述”的完整闭环，这正是我们研究图形性质的主要方法和宝贵经验。

设计意图：通过回顾，让学生深刻理解分类讨论的完备性，从而确信定理的正确性，感受数学证明的逻辑力量。

环节四尺规作图·析理明法

问题五如果只给一把没有刻度的直尺和一个圆规